Σελίδα 1 από 1

Διχοτόμηση τόξου

Δημοσιεύτηκε: Τρί Οκτ 09, 2018 8:01 pm
από KARKAR
Διχοτόμηση  τόξου.png
Διχοτόμηση τόξου.png (15.7 KiB) Προβλήθηκε 454 φορές
Δείξτε ότι το M είναι το μέσο του τόξου \overset{\frown}{AC} . Μη λέτε ονόματα :lol:

Re: Διχοτόμηση τόξου

Δημοσιεύτηκε: Τετ Οκτ 10, 2018 12:31 am
από Doloros
Διχοτόμηση τόξου.png
Διχοτόμηση τόξου.png (32.54 KiB) Προβλήθηκε 429 φορές

Μια κίτρινη μια κόκκινη και μια πράσινη είναι 180^\circ ( το τετράπλευρο MABC είναι εγγεγραμμένο ) .

Αλλά για δείτε την ευθεία γωνία στο S. Άρα η πράσινη είναι ίση με την θαλασσιά .

Το τετράπλευρο MABS είναι χαρταετός . Τέλος

Re: Διχοτόμηση τόξου

Δημοσιεύτηκε: Τετ Οκτ 10, 2018 9:44 am
από george visvikis
KARKAR έγραψε:
Τρί Οκτ 09, 2018 8:01 pm
Διχοτόμηση τόξου.pngΔείξτε ότι το M είναι το μέσο του τόξου \overset{\frown}{AC} . Μη λέτε ονόματα :lol:
Έστω MC=x, AM=y.
Διχοτόμηση τόξου.png
Διχοτόμηση τόξου.png (13.11 KiB) Προβλήθηκε 409 φορές
Κριτήριο καθετότητας: \displaystyle M{B^2} - {x^2} = S{B^2} - S{C^2} = 21 \Leftrightarrow \boxed{M{B^2} = {x^2} + 21} (1)

Νόμος συν. στο AMB: \displaystyle M{B^2} = {y^2} + 9 - 6y\cos A = {y^2} + 9 + 6y\cos C \Leftrightarrow M{B^2} = {y^2} + 9 + \frac{{12y}}{x}\mathop  \Rightarrow \limits^{(1)}

\displaystyle {x^3} + 12x = x{y^2} + 12y \Leftrightarrow x({x^2} - {y^2}) + 12(x - y) = 0 \Leftrightarrow (x - y)({x^2} + xy + 12) = 0 \Leftrightarrow \boxed{x=y}

Re: Διχοτόμηση τόξου

Δημοσιεύτηκε: Τετ Οκτ 10, 2018 5:03 pm
από nickchalkida
Αξίζει να επισημάνω, ότι το πρόβλημα αποτελεί εφαρμογή της πρότασης 3 από το βιβλίο Λημμάτων του Αρχιμήδη.

Θα μπορούσαμε να το διατυπώσουμε και ως εξής:

Αν από άκρο C χορδής CB λάβω κάποιο μέρος CS και το διπλασιάσω και αν στο αντίστοιχο τόξο διπλασιάσω την προβολή του τόξου CM τότε τα πέρατα αυτών E, A θα ισαπέχουν από το έτερο άκρο της χορδής B.

Re: Διχοτόμηση τόξου

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Οκτ 11, 2018 12:02 pm
από rek2
KARKAR έγραψε:
Τρί Οκτ 09, 2018 8:01 pm
Διχοτόμηση τόξου.pngΔείξτε ότι το M είναι το μέσο του τόξου \overset{\frown}{AC} . Μη λέτε ονόματα :lol:
Λοιπόν, σπασμένη χορδή για το μείζον τόξο της. :)