Το ορθογώνιο του Προκόπη

KARKAR · #1

: Το ορθογώνιο του Προκόπη.png (11.06 KiB) Προβλήθηκε 524 φορές

Ο φίλος μου ο Προκόπης θέλει να κατασκευάσει ένα ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , στο οποίο

αν σχεδιάσει το ύψος

και τη διχοτόμο

, η ευθεία

να τμήσει την προέκταση

της

σε σημείο

, ώστε :

. Μετά από επίμονες προσπάθειες , πρότεινε ένα

ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές AB=5

και

. Έχετε καλύτερη πρόταση ;

#2

Έχουμε! Θανάση, θα πρότεινα στον Προκόπη αν πάρει το AB=5

, να πάρει το

περίπου

.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

Παρόμοιο με τον Γιώργο Ρίζο.

Κατασκευάζω ορθογώνιο τρίγωνο $ABC( \widehat A=90^0),$ με $\boxed{a = \frac{c}{4}\left( {1 + \sqrt {17} } \right)}$

Και η απόδειξη:

: Προκόπης.png (12.56 KiB) Προβλήθηκε 487 φορές

Από Van Aubel, $\displaystyle \frac{{CE}}{{EA}} = \frac{{CZ}}{{ZS}} + \frac{{CD}}{{DB}} = 2\frac{{CD}}{{DB}} = \frac{{2{b^2}}}{{{c^2}}} = \frac{{2{a^2} - 2{c^2}}}{{{c^2}}}$

Αλλά από θεώρημα διχοτόμου, $\displaystyle \frac{{CE}}{{EA}} = \frac{a}{c}.$ Από αυτές τις σχέσεις παίρνουμε την εξίσωση 2a^2-ac-2c^2=0,

κλπ...

#4

Καλησπέρα σε όλους. Δίνω και μια ΑναλυτικοΓεωμετρική προσέγγιση με το σχήμα του Θανάση. Προφανώς η λύση μου δεν είναι καθόλου "διασκεδαστική", άρα είμαι εκτός φακέλου κι ελπίζω να μην με πάρει χαμπάρι ο επιμελητής.

Πάντως η προσέγγιση που πέτυχε ο Θανάσης είναι όντως διασκεδαστική!

: Το ορθογώνιο του Προκόπη.png (11.06 KiB) Προβλήθηκε 460 φορές

Έστω

.

Τότε $\displaystyle BC:\;\;y = - \frac{b}{c}x + b$ , οπότε $\displaystyle AD:\;\;y = \frac{c}{b}x$ , άρα $\displaystyle D\left( {\frac{{{b^2}c}}{{{b^2} + {c^2}}},\;\frac{{b{c^2}}}{{{b^2} + {c^2}}}} \right)$ .

Έστω S(-c, 0)

. Τότε $\displaystyle DS:\;\;y = \frac{{bc}}{{2{b^2} + {c^2}}}x + \frac{{b{c^2}}}{{2{b^2} + {c^2}}}$ . Άρα $\displaystyle E\left( {0,\;\frac{{b{c^2}}}{{2{b^2} + {c^2}}}} \right)$ .

Η συνθήκη: «Η

είναι διχοτόμος της $\displaystyle \widehat B$ » ισοδυναμεί (*) με τη σχέση:

$\displaystyle \frac{{\left( {AE} \right)}}{{\left( {EC} \right)}} = \frac{{\left( {AB} \right)}}{{\left( {BC} \right)}} \Leftrightarrow \frac{{\frac{{b{c^2}}}{{2{b^2} + {c^2}}}}}{{\frac{{2{b^3}}}{{2{b^2} + {c^2}}}}} = \frac{c}{{\sqrt {{b^2} + {c^2}} }} \Leftrightarrow \frac{{{c^2}}}{{4{b^4}}} = \frac{1}{{{b^2} + {c^2}}} \Leftrightarrow {c^4} + {b^2}{c^2} = 4{b^4}$ .

Για AB=5

, είναι $\displaystyle AC = \frac{5}{2}\sqrt {\frac{{1 + \sqrt {17} }}{2}}$ .

(*) Το Θεώρημα της διχοτόμου ισχύει και αντίστροφα. Βλέπε Ευκλείδεια Γεωμετρία Α΄, Β΄ Λυκείου, εκδ. Διόφαντος, 2017, σελ. 158.

Το ορθογώνιο του Προκόπη

Το ορθογώνιο του Προκόπη

Re: Το ορθογώνιο του Προκόπη

Re: Το ορθογώνιο του Προκόπη

Re: Το ορθογώνιο του Προκόπη

Μέλη σε σύνδεση