Σπεύσατε !

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9809
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Σπεύσατε !

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Μαρ 19, 2018 9:40 pm

Σπεύσατε !.png
Σπεύσατε !.png (10.4 KiB) Προβλήθηκε 549 φορές
Ήρθε ο καιρός για μιαν άσκηση , η οποία θα λάβει τουλάχιστον 7 λύσεις . Λοιπόν ,

το ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC έχει κάθετες πλευρές  AB=8 , AC=6 . Επιλέξτε

σημείο S της υποτείνουσας , ώστε ο κύκλος διαμέτρου CS , να εφάπτεται της AB .

Είναι βέβαιο ότι θα υπάρξει "καλύτερη" λύση από τη δική σας αλλά παρηγορηθείτε ,

σκεπτόμενοι ότι οπωσδήποτε θα υπάρξει και μια ( τουλάχιστον ) "χειρότερη " :lol:



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4060
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Σπεύσατε !

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Δευ Μαρ 19, 2018 10:02 pm

19-03-2018 Γεωμετρία b.jpg
19-03-2018 Γεωμετρία b.jpg (87.18 KiB) Προβλήθηκε 536 φορές

Έστω P(a, 0), 0 < a < 8.

Η x = a τέμνει την  \displaystyle BC:\;\;y =  - \frac{3}{4}x + 6 στο  \displaystyle K\left( {a,\; - \frac{3}{4}a + 6} \right) , που είναι κέντρο του ζητούμενου κύκλου.

Οπότε  \displaystyle KC = KP \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {{\left( { - \frac{3}{4}a} \right)}^2}}  =  - \frac{3}{4}a + 6 \Leftrightarrow \frac{5}{4}a =  - \frac{3}{4}a + 6 \Leftrightarrow a = 3. Άρα P(3, 0) οπότε η ακτίνα του κύκλου είναι 3,75 άρα CS = 7,5 και το S προσδιορίστηκε.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5864
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Σπεύσατε !

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Μαρ 19, 2018 10:16 pm

Η εύρεση του κέντρου O με τη βοήθεια παραβολής είναι εκτός παιγνιδιού καθ’ όσον είναι εκτός φιλοσοφίας .( παρότι λόγω λογισμικού είναι η πιο γρήγορη .

Κατά τα άλλα μια πρώτη ιδέα και βλέπουμε …

Σπεύσατε_ok.png
Σπεύσατε_ok.png (16.76 KiB) Προβλήθηκε 519 φορές
Ας είναι T το άλλο σημείο τομής του κύκλου με την AB και M το μέσο του AT.

Επειδή \vartriangle ABC \approx \vartriangle MBO \approx \vartriangle TBS και αντιστοιχούν σε μορφή(3,5,4) θα έχουμε:


A{T^2} = AT \cdot AB \Rightarrow 16{m^2} = 36(1 - m) \Rightarrow \boxed{m = \frac{3}{4}} . Έτσι \boxed{CS = \frac{{15}}{2}}
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Δευ Μαρ 19, 2018 10:35 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 828
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Σπεύσατε !

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Δευ Μαρ 19, 2018 10:20 pm

Χαιρετώ! Να ..σπεύσω προς υποβολήν του σχήματος και η αιτιολόγηση έπεται..
Σπεύσατε !!.PNG
Σπεύσατε !!.PNG (7.71 KiB) Προβλήθηκε 471 φορές
Αιτιολόγηση: Από τις -λόγω ομοιότητας- σχέσεις \dfrac{10-R}{x}=\dfrac{10}{8} και \dfrac{R}{x}= \dfrac{6}{8}παίρνουμε BP=x=5 .

Η τομή του κύκλου (B,5) ..ή του (A,3)..με την AB είναι το P

φέρω PO\perp AB και ο κύκλος (O,OC) ξανατέμνει την BC στο S ..Φιλικά Γιώργος.
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Μήτσιος σε Τρί Μαρ 20, 2018 1:31 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 934
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Σπεύσατε !

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Δευ Μαρ 19, 2018 10:30 pm

Είναι CB = 10 Από Π.Θ.

Αν {\rm E} το κέντρο του κύκλου και x η ακτίνα του, από την ομοιότητα (εύκολη) των τριγώνων ABC και EDB παίρνουμε:

\dfrac{x}{6} = \dfrac{{10 - x}}{{10}} \Leftrightarrow 10x = 60 - 6x \Leftrightarrow x = \dfrac{{15}}{4}

Άρα CS = \dfrac{{15}}{2}
Συνημμένα
Σπεύσατε.png
Σπεύσατε.png (19.89 KiB) Προβλήθηκε 521 φορές


Ηλίας Καμπελής
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5864
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Σπεύσατε !

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Μαρ 19, 2018 11:07 pm

Σπεύσατε_ok_1.png
Σπεύσατε_ok_1.png (21.95 KiB) Προβλήθηκε 498 φορές
Έστω K η προβολή του P στη BC . Επειδή : \left\{ \begin{gathered} 
  \widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}} \hfill \\ 
  \widehat {{a_1}} + \widehat {{a_2}} = \widehat {{a_1}} + \widehat {{a_2}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}} = \widehat {{a_4}}.

Οπότε CK = CA = 6. Αν KS = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BS = y αφού τα K,B αρμονικά συζυγή των

S,C θα έχω :


\left\{ \begin{gathered} 
  BK = 4 \hfill \\ 
  \frac{{SK}}{{SB}} = \frac{{CK}}{{CB}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  x + y = 4 \hfill \\ 
  \frac{x}{y} = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow x = \dfrac{3}{2} \Rightarrow \boxed{CS = \frac{{15}}{2}}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5864
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Σπεύσατε !

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Μαρ 19, 2018 11:42 pm

Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ABC , έχω την εξής γενική κατασκευή .

Φέρνω τη διχοτόμο CP και τη κάθετη σ αυτή στο P που τέμνει τη CB στο ζητούμενο σημείο S

Σπεύσατε_ok_γενικώς.png
Σπεύσατε_ok_γενικώς.png (18.04 KiB) Προβλήθηκε 481 φορές

Η απόδειξη απλή . Υπολογισμός κανένας . Γι αυτό έγραφε τα παραπάνω ο πανπόνηρος Θανάσης


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1583
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Σπεύσατε !

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Τρί Μαρ 20, 2018 1:35 am

14.png
14.png (16.3 KiB) Προβλήθηκε 470 φορές
Η παραβολή με διευθετούσα την AB και εστία την C τέμνει την υποτείνουσα AB στο σημείο O , αρκεί να γράψουμε το ημικύκλιο με κέντρο O και ακτίνα OC .


Ντάβας Χρήστος
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1583
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Σπεύσατε !

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Τρί Μαρ 20, 2018 2:36 am

15.png
15.png (24.84 KiB) Προβλήθηκε 467 φορές
Κατασκευάζουμε συμμετρική ημιευθεία της BA ως προς την BC και στην συνέχεια φέρνουμε κάθετη στην CB στο C η οποία τέμνει της ημιευθείες στα σημεία T,D , στο ισοσκελές τρίγωνο που σχηματίσαμε TDB εγγράφουμε κύκλο.


Ντάβας Χρήστος
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6958
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Σπεύσατε !

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Μαρ 20, 2018 9:29 am

Παρόμοια με άλλες...
Σπεύσατε.png
Σπεύσατε.png (14.44 KiB) Προβλήθηκε 447 φορές
H κάθετη από το C στην BC τέμνει την BA στο E. Ο κύκλος (E, EC) τέμνει την AB στο P και

η εφαπτομένη του στο P τέμνει την BC στο K και προσδιορίζει το κέντρο του ζητούμενου κύκλου.


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1667
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Σπεύσατε !

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τρί Μαρ 20, 2018 10:17 am

KARKAR έγραψε:
Δευ Μαρ 19, 2018 9:40 pm
Σπεύσατε !.pngΉρθε ο καιρός για μιαν άσκηση , η οποία θα λάβει τουλάχιστον 7 λύσεις . Λοιπόν ,

το ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC έχει κάθετες πλευρές  AB=8 , AC=6 . Επιλέξτε

σημείο S της υποτείνουσας , ώστε ο κύκλος διαμέτρου CS , να εφάπτεται της AB .

Είναι βέβαιο ότι θα υπάρξει "καλύτερη" λύση από τη δική σας αλλά παρηγορηθείτε ,

σκεπτόμενοι ότι οπωσδήποτε θα υπάρξει και μια ( τουλάχιστον ) "χειρότερη " :lol:
Καλημέρα

Εστω \hat{DCB}=\hat{\omega }

Τότε απο το θεώρημα χορδής -εφαπτομένης \hat{MDA}=\hat{\omega }=\hat{SDB}=\hat{ACB}=\hat{SMD}=\hat{DSM}
OD//AB\Rightarrow \dfrac{x}{6}=\dfrac{BD}{8}\Leftrightarrow BD=\dfrac{4x}{3},(1),

Από το θεώρημα της διχοτόμου στο τρίγωνο ABC,\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{6}{10}\Leftrightarrow DB=5 ,(2)

(1),(2)\Rightarrow x=\dfrac{15}{4}




Γιάννης
Συνημμένα
Σπευσατε.png
Σπευσατε.png (60.08 KiB) Προβλήθηκε 439 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9809
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Σπεύσατε !

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Μαρ 20, 2018 1:24 pm

Σπεύσατε.png
Σπεύσατε.png (14.13 KiB) Προβλήθηκε 404 φορές
Γράφω τη λύση που είχα ως ακλόνητο φαβορί για τον τίτλο της "καλύτερης" :

Επειδή OP=OC και OP\perp AB , λόγω των ίσων έγχρωμων γωνιών ,

η AP είναι διχοτόμος . Φέροντας το κάθετο τμήμα PO εντοπίζω το κέντρο .

Τώρα ποιος ενδιαφέρεται για το S ; Αφού το λιοντάρι το βλέπουμε

τι νόημα έχει να ψάχνουμε για τα ίχνη του ; Αλλά φοβάμαι ότι πάλι το έπαθλο

θα καταλήξει στην Κρήτη . Γεια σου Νίκο Φραγκάκη !


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 828
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Σπεύσατε !

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τετ Μαρ 21, 2018 2:00 am

Καλημέρα σε όλους. Η γενίκευση του Νίκου στην (#7) ανάρτηση είναι πράγματι αφοπλιστική ! :clap2:

Ας δούμε μια ακόμη διαδρομή για να φτάσουμε στο σημείο S . Η διαδρομή αυτή φαίνεται αρχικά ..αναπάντεχη
έχει όμως το σκεπτικό της.
Σπουδή με .. καθυστέρηση.PNG
Σπουδή με .. καθυστέρηση.PNG (8.2 KiB) Προβλήθηκε 356 φορές
Θεωρούμε το μέσον K της πλευράς AC και την τομή I της διχοτόμου AD με την διάμεσο CM.

Ισχυρίζεται .. κάποιος ότι η τομή S της ημιευθείας KI με την BC είναι το ζητούμενο σημείο
δηλ το ημικύκλιο διαμέτρου CS εφάπτεται της AB

Μπορούμε να αποδείξουμε τον ισχυρισμό αυτό ;...Αν χρειαστεί , οφείλω να επανέλθω.
Φιλικά Γιώργος.


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 828
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Σπεύσατε !

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Παρ Μαρ 23, 2018 11:40 pm

Ως συνέχεια της προηγούμενης , ας δώσω συνοπτικά ( λόγω της ωραίας απόδειξης του Αλέξανδρου στο θέμα εδώ)
το σκεπτικό για τον ως άνω εντοπισμό του σημείου S. Με βοηθό το σχήμα :
Σπεύσατε ! 2 PNG.PNG
Σπεύσατε ! 2 PNG.PNG (7.87 KiB) Προβλήθηκε 298 φορές
Το S προκύπτει ως τομή της BC με μια διατέμνουσα. Με γνωστό το λόγο CS/SB=3 , θεωρώντας το μέσο K της AC
και την τομή Q των KS,AB το Θ. Μενελάου στο τρίγωνο BAC μας δίνει BQ=4 . Έπειτα το ίδιο θεώρημα
στο τρίγωνο MAC μας δίνει CI/IM=3/2=AC/AM δηλ το I είναι η τομή της διαμέσου  CM με την διχοτόμο AD.

Γίνεται φανερό ότι ο εντοπισμός γίνεται και πιο απλά : Παίρνουμε BQ=AB/2 και το μέσο K της AC
τότε η τομή των KQ,BC είναι το ζητούμενο... Φιλικά Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης