Απειροτρίγωνο

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 134
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Απειροτρίγωνο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Δευ Μαρ 12, 2018 12:17 am

Το παρακάτω πρόβλημα το είχα μάθει από τον κ.Μπάμπη Στεργίου.

Αν παρατηρήσετε την εικόνα , θα δείτε με ποιον τρόπο σχηματίζονται οι γραμμές του άπειρου τριγώνου. Το ερώτημα είναι να βρεθεί σε ποια γραμμή εμφανίζεται για πρώτη φορά ο αριθμός 2016.
New Picture (2)PATTERN.JPG
New Picture (2)PATTERN.JPG (31.9 KiB) Προβλήθηκε 381 φορές



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7782
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Απειροτρίγωνο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Μαρ 12, 2018 6:37 pm

Στην k-οστή διαγώνιο γραμμή εμφανίζονται με την σειρά όλα τα πολλαπλάσια του k.

Άρα στην n-οστή γραμμή εμφανίζονται τα n \times 1, (n-1)\times 2, (n-2) \times 3, \cdots, 1 \times n. Δηλαδή όλα τα ab με a+b = n+1.

Θέλουμε λοιπόν να γράψουμε τον 2016 ως γινόμενο δύο αριθμών με όσο το δυνατό μικρότερο άθροισμα.

Είναι 2016 = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 7 = 42 \cdot 48

Οπότε ο 2016 εμφανίζεται σίγουρα στην γραμμή 42+48-1=89. Δεν μπορεί να εμφανιστεί πιο γρήγορα, διότι τότε θα είχαμε a,b με a+b \leqslant 89 και ab = 2016. Αυτό είναι αδύνατον αφού τότε θα είχαμε

\displaystyle  8064 = 4ab \leqslant (a+b)^2 \leqslant 89^2 = 7921.

Επεξεργασία: Διορθώθηκε το 91 σε 89 μετά από επισήμανση του Λάμπρου Κατσάπα.


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 134
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Απειροτρίγωνο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Τρί Μαρ 13, 2018 12:42 am

Demetres έγραψε:
Δευ Μαρ 12, 2018 6:37 pm
Στην k-οστή διαγώνιο γραμμή εμφανίζονται με την σειρά όλα τα πολλαπλάσια του k.

Άρα στην n-οστή γραμμή εμφανίζονται τα n \times 1, (n-1)\times 2, (n-2) \times 3, \cdots, 1 \times n. Δηλαδή όλα τα ab με a+b = n+1.

Θέλουμε λοιπόν να γράψουμε τον 2016 ως γινόμενο δύο αριθμών με όσο το δυνατό μικρότερο άθροισμα.

Είναι 2016 = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 7 = 42 \cdot 48

Οπότε ο 2016 εμφανίζεται σίγουρα στην γραμμή 42+48-1=89. Δεν μπορεί να εμφανιστεί πιο γρήγορα, διότι τότε θα είχαμε a,b με a+b \leqslant 89 και ab = 2016. Αυτό είναι αδύνατον αφού τότε θα είχαμε

\displaystyle  8064 = 4ab \leqslant (a+b)^2 \leqslant 89^2 = 7921.

Επεξεργασία: Διορθώθηκε το 91 σε 89 μετά από επισήμανση του Λάμπρου Κατσάπα.
Ευχαριστώ.

Βάζω και τη δική μου αντιμετώπιση. Δουλεύουμε μόνο με τα διαγώνια στοιχεία (οι διαγώνιοι σαρώνουν όλα τα στοιχεία -

αριθμούς του τριγώνου).

Στη n-οστή γραμμή ο ακραίος αριθμός είναι n. Ξεκινώντας από αυτόν αν κινηθούμε διαγώνια προς τα

κάτω παίρνουμε τα πολλαπλάσια του n. Ο 2016 θα βρίσκεται σε αυτή τη διαγώνιο αν

n|2016.

Παρατηρούμε ότι αν ξεκινήσουμε από την πρώτη διαγώνιο (ακραίο στοιχείο το n=1|2016) θα

πετύχουμε το 2016 στη 2016η σειρά.

Αν ξεκινήσουμε από τη δεύτερη διαγώνιο (ακραίο στοιχείο το n=2|2016) θα πετύχουμε το 2016

στη \frac{2006}{2}+1=\frac{2006}{2}+(2-1) σειρά.

Αν ξεκινήσουμε από την τρίτη διαγώνιο (ακραίο στοιχείο το n=3|2016) θα πετύχουμε το 2016

στη \frac{2006}{3}+2=\frac{2006}{3}+(3-1) σειρά.

Γενικά, ξεκινώντας από την k-οστή διαγώνιο (ακραίο στοιχείο το n=k|2016) θα πετύχουμε το

2016 στη \frac{2006}{k}+(k-1) σειρά. Ο στόχος μας είναι να βρούμε το k για το οποίο πετυχαίνουμε το

\underset{k|2016}{min} (\frac{2016}{k}+k-1). Ένας τρόπος είναι να δοκιμάσουμε τους διαιρέτες του 2016

και να βρούμε ποιος από αυτούς μας δίνει το ελάχιστο. Καλύτερα όμως να θεωρήσουμε τη συνάρτηση

f(x)=\frac{2016}{x}+x-1,x\in[1,2016]. Αυτή έχει ελάχιστο για x=\sqrt{2016}\approx 44,9.

Δοκιμάζουμε τώρα τους κοντινότερους (εκατέρωθεν) στο 44,9 διαιρέτες του 2016. Είναι οι αριθμοί

42 και το 48. Είναι f(42)=f(48)=89 και επομένως στην 89η γραμμή πετυχαίνουμε

πρώτη φορά το 2016.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης