3k , 4π , 12

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9641
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

3k , 4π , 12

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Φεβ 13, 2018 12:05 pm

Δίνεται η συνάρτηση : f(x)=\dfrac{x^2+3k}{\sqrt{x^2+k}} , k>0 . Αν η ελάχιστη τιμή

της συνάρτησης είναι 12 , πόσες φορές παίρνει η συνάρτηση την τιμή 4\pi ;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6646
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: 3k , 4π , 12

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Φεβ 13, 2018 2:03 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Φεβ 13, 2018 12:05 pm
Δίνεται η συνάρτηση : f(x)=\dfrac{x^2+3k}{\sqrt{x^2+k}} , k>0 . Αν η ελάχιστη τιμή

της συνάρτησης είναι 12 , πόσες φορές παίρνει η συνάρτηση την τιμή 4\pi ;
Με τη βοήθεια παραγώγων βρίσκω ότι η συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο στις θέσεις \displaystyle x =  - \sqrt k ,x = \sqrt k κι επειδή

η ελάχιστη τιμή είναι 12, προκύπτει ότι \boxed{k=18}

Έχουμε λοιπόν να λύσουμε την εξίσωση \displaystyle \frac{{{x^2} + 54}}{{\sqrt {{x^2} + 18} }} = 4\pi  \Leftrightarrow {x^4} + (108 - 16{\pi ^2}){x^2} + 2916 - 288{\pi ^2} = 0

η οποία έχει 4 πραγματικές ρίζες αφού έχει διακρίνουσα \displaystyle \Delta  = 256{\pi ^2}({\pi ^2} - 9) > 0. Η απάντηση λοιπόν είναι 4.

Στο σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης \displaystyle g(x) = \frac{{{x^2} + 54}}{{\sqrt {{x^2} + 18} }} - 4\pi
3k,4π,12.png
3k,4π,12.png (6.62 KiB) Προβλήθηκε 242 φορές


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6061
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: 3k , 4π , 12

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τρί Φεβ 13, 2018 7:42 pm

Η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης μπορεί να βρεθεί με απλό τρόπο και ως εξής:

\displaystyle{f(x)=\sqrt{x^2+k}+\frac{2k}{\sqrt{x^2+k}}\stackrel{AM-GM}{\geq }2\sqrt{2k}}

και η ισότητα πιάνεται όταν \displaystyle{\sqrt{x^2+k}=\frac{2k}{\sqrt{x^2+k}}\iff x=\pm \sqrt{k}.}

Άρα \displaystyle{\min f=2\sqrt{2k}.} Επομένως \displaystyle{2\sqrt{2k}=12\iff k=18.}


Μάγκος Θάνος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης