Με την απλούστερη τριγωνομετρία

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11361
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Με την απλούστερη τριγωνομετρία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Ιούλ 04, 2017 9:06 pm

Μήκος με ελάχιστη  τριγωνομετρία.png
Μήκος με ελάχιστη τριγωνομετρία.png (10.46 KiB) Προβλήθηκε 470 φορές
Με πλευρά την υποτείνουσα του "3-4-5" ορθογωνίου τριγώνου \displaystyle ABC ,

σχεδιάσαμε το ισόπλευρο τρίγωνο BCD . Υπολογίστε το τμήμα AD ,

χρησιμοποιώντας όσο γίνεται απλούστερη τριγωνομετρία !



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4568
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Με την απλούστερη τριγωνομετρία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τετ Ιούλ 05, 2017 12:12 am

Μια προσπάθεια. Με το σχήμα του Θανάση, δίχως καμμία βοηθητική.
Μήκος με ελάχιστη  τριγωνομετρία.png
Μήκος με ελάχιστη τριγωνομετρία.png (10.46 KiB) Προβλήθηκε 443 φορές
Έστω \displaystyle \widehat {ACB} = \varphi , οπότε \displaystyle \eta \mu \varphi  = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{4}{5},\;\;\sigma \upsilon \nu \varphi  = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{3}{5} .

Οπότε στο CAD είναι

\displaystyle A{D^2} = {3^2} + {5^2} - 2 \cdot 3 \cdot 5\sigma \upsilon \nu \left( {60^\circ  + \varphi } \right) = 34 - 30\left( {\sigma \upsilon \nu 60^\circ  \cdot \sigma \upsilon \nu \varphi  - \eta \mu 60^\circ  \cdot \eta \mu \varphi } \right) =

\displaystyle  = 34 - 15\left( {\sigma \upsilon \nu \varphi  - \sqrt 3 \eta \mu \varphi } \right) = 34 - 3\left( {3 - 4\sqrt 3 } \right) = 25 + 12\sqrt 3

Άρα \displaystyle AD = \sqrt {25 + 12\sqrt 3 } .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8952
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Με την απλούστερη τριγωνομετρία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Ιούλ 05, 2017 9:00 am

KARKAR έγραψε:Μήκος με ελάχιστη τριγωνομετρία.pngΜε πλευρά την υποτείνουσα του "3-4-5" ορθογωνίου τριγώνου \displaystyle ABC ,

σχεδιάσαμε το ισόπλευρο τρίγωνο BCD . Υπολογίστε το τμήμα AD ,

χρησιμοποιώντας όσο γίνεται απλούστερη τριγωνομετρία !
Χωρίς Τριγωνομετρία.
Χωρίς Τριγωνομετρία....png
Χωρίς Τριγωνομετρία....png (13.25 KiB) Προβλήθηκε 412 φορές
Έστω M το μέσο του BD και AM=x. Θεώρημα Πτολεμαίου στο εγγράψιμο ABMC:

\displaystyle{\frac{{5\sqrt 3 }}{2} \cdot 4 + 3 \cdot \frac{5}{2} = 5x \Leftrightarrow } \boxed{x = \frac{{4\sqrt 3  + 3}}{2}}

Θεώρημα διαμέσων στο ABD: \displaystyle{A{D^2} + 16 = 2{\left( {\frac{{4\sqrt 3  + 3}}{2}} \right)^2} + \frac{{25}}{2} \Leftrightarrow } \boxed{AD = \sqrt {25 + 12\sqrt 3 } }


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11921
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Με την απλούστερη τριγωνομετρία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Ιούλ 05, 2017 10:01 am

Άλλη μία χωρίς Τριγωνομετρία.

Γράφουμε το ισόπλευρο τρίγωνο ACE στην πλευρά AC. Τότε τα τρίγωνα ACD, \,ECB είναι ίσα καθώς AC=EC, \,  CD=CB και έχουν ίσες περιεχόμενες γωνίες. Άρα AD=EB οπότε υπολογίζουμε την EB. Αλλά αυτό είναι άμεσο από το Πυθαγόρειο στο EFB που έχει EF=AC/2=3/2 και FB=FA+AB= \sqrt 3 /2 +4. Και λοιπά.
Συνημμένα
Hwris Trig .png
Hwris Trig .png (7.29 KiB) Προβλήθηκε 399 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7030
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Με την απλούστερη τριγωνομετρία

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Ιούλ 05, 2017 10:20 am

με την πιο εύκολη τριγωνομετρία.png
με την πιο εύκολη τριγωνομετρία.png (30.37 KiB) Προβλήθηκε 389 φορές
Δυο λογάκια σε λίγο.


Γράφω τον κύκλο (A,B,C) που έχει κέντρο το μέσο O του BC.

\cos (\widehat {AOD}) = \cos (90^\circ  + 2\theta ) =  - \sin 2\theta  =  - 2\sin \theta \cos \theta  =  - \dfrac{{24}}{{25}}.

Από το Θ. συνημίτονου στο \vartriangle AOD έχω :

A{D^2} = O{A^2} + O{D^2} - 2OA \cdot OD \cdot \cos (\widehat {AOD)} . Άρα

A{D^2} = \dfrac{{25}}{4} + \dfrac{{75}}{4} - 2\dfrac{5}{2}\dfrac{{5\sqrt 3 }}{2}( - \dfrac{{24}}{{25}}) = 25 + 12\sqrt 3 . Οπότε \boxed{AD = \sqrt {25 + 12\sqrt 3 } }


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11361
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Με την απλούστερη τριγωνομετρία

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Ιούλ 05, 2017 10:51 am

Με  την απλούστερη  τριγωνομετρία.png
Με την απλούστερη τριγωνομετρία.png (14.87 KiB) Προβλήθηκε 381 φορές
Φυσικά η απλούστερη τριγωνομετρία είναι ... η καθόλου . Αλλά αφού επιτρέπεται λίγη :

Επειδή AD=EB ( Λάμπρου ) και \widehat{EAB}=150^0 , με νόμο συνημιτόνου στο EAB ,

προκύπτει AD=\sqrt{25+12\sqrt{3}} . Αυτή ήταν και η ιδέα-αφορμή της ανάρτησης !


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης