Τριχοτόμηση γωνίας

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11665
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Τριχοτόμηση γωνίας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Ιαν 28, 2017 9:47 am

Τριχοτόμηση  γωνίας.png
Τριχοτόμηση γωνίας.png (11.17 KiB) Προβλήθηκε 590 φορές
Το τετράγωνο ABCD έχει "εγγραφεί" στο εσωτερικό οξείας γωνίας \widehat{xOy} .

Αν \widehat{COx}=2\widehat{COy} , δείξτε ότι η tan\widehat{xOy} , βρίσκεται στο διάστημα [\displaystyle{\dfrac{4}{7},\dfrac{3}{5}}] .

Ο στόχος είναι , το τελικό σας κείμενο να είναι όσο γίνεται συντομότερο :lol:



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4654
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Τριχοτόμηση γωνίας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Ιαν 28, 2017 7:16 pm

Καλησπέρα σε όλους. Εντάξει, δεν το λες και σύντομο το κείμενο (άσε που απέκρυψα ένα κάρο πράξεις...), ούτε καν διασκεδαστικό. Φαντάζομαι ο Θανάσης έχει κάτι μαθη-μαγικό στο νου του, που περιμένω να δω!
28-01-2017 Γεωμετρία b.jpg
28-01-2017 Γεωμετρία b.jpg (35.39 KiB) Προβλήθηκε 543 φορές
Έστω A(a, 0), B(a, b), C(a+b, b), D(a+b, 0), a, b>0.

Είναι \displaystyle \tan 3\theta  = \frac{{AB}}{{OA}} = \frac{b}{a},\;\;\tan 2\theta  = \frac{{DC}}{{OD}} = \frac{b}{{a + b}} .

Είναι \displaystyle \tan \theta  = \tan \left( {3\theta  - 2\theta } \right) = \frac{{\tan 3\theta  - \tan 2\theta }}{{1 - \tan 3\theta  \cdot \tan 2\theta }} = \frac{{\frac{b}{a} - \frac{b}{{a + b}}}}{{1 - \frac{{{b^2}}}{{{a^2} + ab}}}} = \frac{{{b^2}}}{{{a^2} + ab - {b^2}}} .

Λύνοντας την εξίσωση \displaystyle \tan 2\theta  = \frac{{2\tan \theta }}{{1 - {{\tan }^2}\theta }} καταλήγουμε στην εξίσωση
\displaystyle {a^3} - 2{b^3} - {a^2}b = 0 \Leftrightarrow 1 - 2{\left( {\frac{b}{a}} \right)^3} - \frac{b}{a} = 0 \Leftrightarrow  - 2{\tan ^3}3\theta  - \tan 3\theta  + 1 = 0

Θέτω \displaystyle x = \tan 3\theta , με x>0, οπότε η εξίσωση γίνεται \displaystyle 2{x^3} + x - 1 = 0

Η συνάρτηση \displaystyle f\left( x \right) = 2{x^3} + x - 1 είναι συνεχής στο \displaystyle \left( {0,\; + \infty } \right) και ισχύει \displaystyle f\left( {\frac{4}{7}} \right) < 0,\;\;f\left( {\frac{3}{5}} \right) > 0 , οπότε από Θ. Bolzano η εξίσωση έχει μια ρίζα στο \displaystyle \left( {\frac{4}{7},\;\frac{3}{5}} \right) και αφού είναι και γνησίως αύξουσα, η ρίζα είναι μοναδική.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9454
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τριχοτόμηση γωνίας

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιαν 28, 2017 7:58 pm

KARKAR έγραψε:Τριχοτόμηση γωνίας.pngΤο τετράγωνο ABCD έχει "εγγραφεί" στο εσωτερικό οξείας γωνίας \widehat{xOy} .

Αν \widehat{COx}=2\widehat{COy} , δείξτε ότι η tan\widehat{xOy} , βρίσκεται στο διάστημα [\displaystyle{\dfrac{4}{7},\dfrac{3}{5}}] .

Ο στόχος είναι , το τελικό σας κείμενο να είναι όσο γίνεται συντομότερο :lol:
Καλησπέρα Θανάση και Γιώργο!
Τριχοτόμηση γωνίας.png
Τριχοτόμηση γωνίας.png (12.52 KiB) Προβλήθηκε 528 φορές
Έστω a=1 η πλευρά του τετραγώνου και OA=x. Φέρνω τη διχοτόμο της γωνίας 2\theta.

Είναι \displaystyle{y = \frac{{x + 1}}{{x + 1 + OC}} = \frac{{x + 1}}{{x + 1 + \sqrt {{x^2} + 2x + 2} }} \Rightarrow } \boxed{\tan \theta  = \frac{y}{{x + 1}} = \frac{1}{{x + 1 + \sqrt {{x^2} + 2x + 2} }}} (1)

Αλλά, \displaystyle{\tan 3\theta  = \frac{1}{x},\tan 2\theta  = \frac{1}{{x + 1}} \Rightarrow \tan \theta  = \frac{{\tan 3\theta  - \tan 2\theta }}{{1 + \tan 3\theta tan2\theta }} \Leftrightarrow } \boxed{\tan \theta  = \frac{1}{{{x^2} + x + 1}}} (2)

Από (1), (2) παίρνω: \displaystyle{x = \frac{1}{3}\left( {1 + \sqrt[3]{{28 - 3\sqrt {87} }} + \sqrt[3]{{28 + 3\sqrt {87} }}} \right) \simeq 1.6956 \Leftrightarrow \tan 3\theta  = \frac{1}{x} \simeq 0.58976 \in \left( {\frac{4}{7},\frac{3}{5}} \right)}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7262
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τριχοτόμηση γωνίας

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Ιαν 28, 2017 11:53 pm

KARKAR έγραψε:Τριχοτόμηση γωνίας.pngΤο τετράγωνο ABCD έχει "εγγραφεί" στο εσωτερικό οξείας γωνίας \widehat{xOy} .

Αν \widehat{COx}=2\widehat{COy} , δείξτε ότι η tan\widehat{xOy} , βρίσκεται στο διάστημα [\displaystyle{\dfrac{4}{7},\dfrac{3}{5}}] .

Ο στόχος είναι , το τελικό σας κείμενο να είναι όσο γίνεται συντομότερο :lol:

Γράφω τον κύκλο (B,R)\,\,,R = BO που η OC τον τέμνει στο L .

Αν AB = 1\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,OA = u αρκεί να υπολογίσουμε το \boxed{x = \frac{1}{u}}\,\,\,(M). Επειδή

OC \cdot CL = O{B^2} - B{C^2} \Rightarrow OC = {R^2} - 1\,\,\,(1) αφού προφανώς
Τριχοτόμηση γωνίας_1.png
Τριχοτόμηση γωνίας_1.png (25.4 KiB) Προβλήθηκε 500 φορές
\widehat {BOC} = 2\theta \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC = CL = 1 . Αλλά από το ορθογώνιο τρίγωνο AOB

{R^2} = {u^2} + 1\,\,\,\,\,(2) που λόγω της (1) δίδει : OC = {u^2} . Όμως από το ορθογώνιο

τρίγωνο DOC έχουμε O{C^2} = {(u + 1)^2} + 1 και άρα

{u^4} = {(u + 1)^2} + 1 \Leftrightarrow (u + 1)({u^3}  - u - 2) = 0 συνεπώς {u^2} - u - 2 = 0 και λόγω του

μετασχηματισμού (M) , \boxed{2{x^3} + x - 1 = 0} που έχει μόνο μια πραγματική ρίζα

την \boxed{x = \sqrt[3]{{\frac{{\sqrt {87} }}{{36}} + \frac{1}{4}}} - \sqrt[3]{{\frac{{\sqrt {87} }}{{36}} - \frac{1}{4}}} \simeq 0,5897545123} που ανήκει στο [\dfrac{4}{7},\dfrac{3}{5}].


Φιλικά, Νίκος


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11665
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Τριχοτόμηση γωνίας

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Ιαν 29, 2017 10:06 am

Γιώργος Ρίζος έγραψε:Καλησπέρα σε όλους. Εντάξει, δεν το λες και σύντομο το κείμενο (άσε που απέκρυψα ένα κάρο πράξεις...) ,

ούτε καν διασκεδαστικό. Φαντάζομαι ο Θανάσης έχει κάτι μαθη-μαγικό στο νου του, που περιμένω να δω !
Γιώργο είναι άσκηση που δεν μπορείς να γράψεις λίγα ( όσα και να κρύψεις :lol: ) . Συνεπώς

δεν υπάρχει μαγικό , αντίθετα είχα σχεδόν τη δική σου λύση στο μυαλό ! Λοιπόν , μια άλλη :
Τριχοτόμηση β.png
Τριχοτόμηση β.png (10.02 KiB) Προβλήθηκε 478 φορές
\dfrac{x}{sin\theta}=\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{sin2\theta} , συνεπώς : cos\theta=\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{2x} , άρα : cos2\theta=\dfrac{1-x^2}{2x^2}

Αλλά : cos2\theta=\dfrac{1+x}{\sqrt{2x^2+2x+1}} , οπότε : \dfrac{1-x^2}{2x^2}=\dfrac{1+x}{\sqrt{2x^2+2x+1}} .

Απλοποιώντας το 1+x , καταλήγουμε στην : (x+1)(2x^3+x-1)=0 και επειδή x \neq -1 ,

κλείνουμε ( όπως άλλωστε και τα άλλα παλικάρια ) , με την - μοναδική ! - λύση της τριτοβάθμιας .

Το πλεονέκτημα της λύσης είναι , ότι δίνει απευθείας το ζητούμενο ( μένει χώρος για φλυαρίες :lol: )


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης