Κεριά σε τούρτα γενεθλίων

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Grigoris K.
Δημοσιεύσεις: 927
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 27, 2011 8:12 pm

Κεριά σε τούρτα γενεθλίων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Grigoris K. » Σάβ Ιαν 21, 2017 9:58 pm

Σήμερα κλείνεις τα 30 και οι φίλοι σου αγόρασαν μια τούρτα με 30 κεριά. Κάνεις μια ευχή και προσπαθείς να τα σβήσεις. Κάθε φορά που φυσάς, σβήνεις τυχαίο πλήθος κεριών μεταξύ του ενός και του αριθμού των κεριών που
απομένουν (συμπεριλαμβανομένων των άκρων). Πόσες φορές, κατά μέσο όρο, πρέπει να φυσήξεις μέχρι να σβήσουν όλα τα κεριά;

Πηγή: FiveThirtyEight



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8263
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Κεριά σε τούρτα γενεθλίων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Ιαν 21, 2017 10:44 pm

Ας γράψουμε T(n) για το πόσες φορές πρέπει να φυσήξουμε κατά μέσο όρο ώστε να σβήσουμε n κεριά.

Τότε T(0)=0,T(1)=1 και

\displaystyle{ \begin{aligned} 
T(n) &= 1 + \frac{T(0) + T(1) + \cdots + T(n-1)}{n} \\ 
&= 1 + \frac{n-1}{n}\frac{T(0) + T(1) + \cdots + T(n-2)}{n} + \frac{T(n-1)}{n} \\ 
&= 1 + \frac{n-1}{n}(T(n-1)-1) + \frac{T(n-1)}{n} \\ 
&= T(n-1) + \frac{1}{n} 
\end{aligned} 
}

Άρα \displaystyle{T(n) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}}

Για n=30 έχουμε \displaystyle{ T(30) \approx 3.99}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες