Εξ ονύχων τον λέοντα

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11344
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Εξ ονύχων τον λέοντα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Δεκ 31, 2016 9:19 am

Εξ  ονύχων  το  λέοντα.png
Εξ ονύχων το λέοντα.png (14.61 KiB) Προβλήθηκε 1077 φορές
Επί των πλευρών BC,BA , ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC , παίρνω σημεία D,E , ώστε :

BD=7 και BE=8 . Αν AD \perp CE , υπολογίστε την πλευρά του τριγώνου .
τελευταία επεξεργασία από KARKAR σε Σάβ Δεκ 31, 2016 7:27 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1595
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Εξ ονύχων το λέοντα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Σάβ Δεκ 31, 2016 9:31 am

KARKAR έγραψε:
Εξ ονύχων το λέοντα.png
Επί των πλευρών BC,BA , ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC , παίρνω σημεία D,E , ώστε :

BD=7 και BE=8 . Αν AD \perp CE , υπολογίστε την πλευρά του τριγώνου .

Έστω x η πλευρά του τριγώνου, με x>8.

Με Ν. Συνημιτόνων στο τρίγωνο BED έχουμε ότι ED=\sqrt{57}.

Ακόμη, AE=x-8, \, DC=x-7, \, AC=x

Από το κριτήριο καθετότητας έχουμε AC^2-AE^2=DC^2-DE^2 \Leftrightarrow x^2-(x-8)^2=(x-7)^2-57 \Leftrightarrow x^2-30x + 56=0,
με λύσεις x=28 και x=2.

Η δεύτερη όμως απορρίπτεται διότι x>8.

Άρα, \boxed{x=28}


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1202
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Εξ ονύχων τον λέοντα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Δευ Νοέμ 19, 2018 3:49 am

Καλημέρα! Ο κύριος λόγος που ανασύρω το παρόν θέμα είναι προς τιμήν του μοναδικού KARKAR
για τις -αυτή την ώρα- 10.000 δημοσιεύσεις του !!
Το προτίμησα ως ελκυστικό , από την 100στή σελίδα του Θανάση.
Θα δώσω, λόγω ώρας , αργότερα μια λύση που βρήκα .. μέχρι τότε θαρρώ πως θα υπάρξει ''παρέμβαση'' και από άλλο φίλο ή φίλους !


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2745
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Εξ ονύχων τον λέοντα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Δευ Νοέμ 19, 2018 8:08 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Δευ Νοέμ 19, 2018 3:49 am
Καλημέρα! Ο κύριος λόγος που ανασύρω το παρόν θέμα είναι προς τιμήν του μοναδικού KARKAR
για τις -αυτή την ώρα- 10.000 δημοσιεύσεις του !!
Το προτίμησα ως ελκυστικό , από την 100στή σελίδα του Θανάση.
Θα δώσω, λόγω ώρας , αργότερα μια λύση που βρήκα .. μέχρι τότε θαρρώ πως θα υπάρξει ''παρέμβαση'' και από άλλο φίλο ή φίλους !
:clap2: :clap2: :clap2:

[... και εκ δημοσιεύσεων τον KARKAR!]


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11878
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εξ ονύχων τον λέοντα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Νοέμ 19, 2018 2:49 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Δεκ 31, 2016 9:19 am
Εξ ονύχων το λέοντα.pngΕπί των πλευρών BC,BA , ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC , παίρνω σημεία D,E , ώστε :

BD=7 και BE=8 . Αν AD \perp CE , υπολογίστε την πλευρά του τριγώνου .
Συγχαρητήρια Θανάση. Να τα 10^5- σεις.

Για την άσκηση, με αρχή των αξόνων το B(0,0) και C(a,0) οι υπόλοιπες συντεταγμένες είναι D(7, \, 0),\, E(4, \, 4\sqrt 3 ), \, A(a/2, \, a\sqrt 3/2 ). Η συνθήκη καθετότητας γίνεται \dfrac {4\sqrt 3}{4-a}\cdot \dfrac {a\sqrt 3 /2-0}{a/2-7}=-1. Λύνοντας είναι a=2 (απορρίπτεται) ή a=28.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4559
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Εξ ονύχων τον λέοντα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Δευ Νοέμ 19, 2018 9:25 pm

Μια ελαφρώς αποκρουστική τριγωνομετρική υπερπαραγωγή που μέσα από δύσβατα μονοπάτια καταλήγει στην ίδια εξίσωση με τους προηγηθέντες.

Θανάση, οι πράξεις είναι τσεκαρισμένες. Δεν θα ήθελα να σπαταλήσεις τον χρόνο σου μέρα γιορτής (δέκα χιλιάδων υπέροχων αναρτήσεων), ελέγχοντας ρουτινοπράξεις.

19-11-2018 Γεωμετρία β.jpg
19-11-2018 Γεωμετρία β.jpg (60.19 KiB) Προβλήθηκε 719 φορές

Έστω a, a > 8 η πλευρά του τριγώνου.

Από Τριγωνομετρικό CEVA στο ABC (ή με Νόμο Ημιτόνων στα ABD, ADC) , είναι  \displaystyle \frac{{DC}}{{BD}} = \frac{{a \cdot \eta \mu \left( {60^\circ  - \omega } \right)}}{{a \cdot \eta \mu \omega }} \Leftrightarrow \frac{{a - 7}}{7} = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}\sigma \upsilon \nu \omega  - \frac{1}{2}\eta \mu \omega }}{{\eta \mu \omega }} \Leftrightarrow \sigma \varphi \omega  = \frac{{2a\sqrt 3 }}{{21}} - \frac{{\sqrt 3 }}{3} .

Ομοίως , είναι  \displaystyle \frac{{AE}}{{EB}} = \frac{{a \cdot \eta \mu \left( {60^\circ  - \varphi } \right)}}{{a \cdot \eta \mu \varphi }} \Leftrightarrow \frac{{a - 8}}{8} = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}\sigma \upsilon \nu \varphi  - \frac{1}{2}\eta \mu \varphi }}{{\eta \mu \varphi }} \Leftrightarrow \sigma \varphi \varphi  = \frac{{2a\sqrt 3 }}{{24}} - \frac{{\sqrt 3 }}{3} .

Είναι  \displaystyle \sigma \varphi \varphi  = \varepsilon \varphi \left( {SDC} \right) = \varepsilon \varphi \left( {60^\circ  + \omega } \right) = \frac{{\sqrt 3  + \varepsilon \varphi \omega }}{{1 - \sqrt 3 \varepsilon \varphi \omega }} = \frac{{\sqrt 3 \sigma \varphi \omega  + 1}}{{\sigma \varphi \omega  - \sqrt 3 }} ,

οπότε είναι  \displaystyle \sigma \varphi \varphi  \cdot \sigma \varphi \omega  - \sqrt 3 \sigma \varphi \varphi  = \sqrt 3 \sigma \varphi \omega  + 1 .

 \displaystyle  \Leftrightarrow \left( {\frac{{2a\sqrt 3 }}{{24}} - \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right) \cdot \left( {\frac{{2a\sqrt 3 }}{{21}} - \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right) - \sqrt 3 \left( {\frac{{2a\sqrt 3 }}{{24}} - \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right) = \sqrt 3 \left( {\frac{{2a\sqrt 3 }}{{21}} - \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right) + 1 ,

που δίνει  \displaystyle {a^2} - 30a + 56 = 0 με δεκτή λύση a = 28.


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1833
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Εξ ονύχων τον λέοντα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Δευ Νοέμ 19, 2018 10:35 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Δευ Νοέμ 19, 2018 3:49 am
Καλημέρα! Ο κύριος λόγος που ανασύρω το παρόν θέμα είναι προς τιμήν του μοναδικού KARKAR
για τις -αυτή την ώρα- 10.000 δημοσιεύσεις του !!
...
Θανάση να τις χιλιάσεις!!!


ἴδμεν ψεύδεα πολλὰ λέγειν ἐτύμοισιν ὁμοῖα,
ἴδμεν δ' εὖτ' ἐθέλωμεν ἀληθέα γηρύσασθαι
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2882
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Εξ ονύχων τον λέοντα

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Νοέμ 19, 2018 10:42 pm

rek2 έγραψε:
Δευ Νοέμ 19, 2018 10:35 pm
Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Δευ Νοέμ 19, 2018 3:49 am
Καλημέρα! Ο κύριος λόγος που ανασύρω το παρόν θέμα είναι προς τιμήν του μοναδικού KARKAR
για τις -αυτή την ώρα- 10.000 δημοσιεύσεις του !!
...
Θανάση να τις χιλιάσεις!!!
:wallbash:


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1202
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Εξ ονύχων τον λέοντα

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τρί Νοέμ 20, 2018 12:36 am

Χαιρετώ και πάλι.Να στείλω και τις δικές μου ευχές στον .. υπέρ-παραγωγό :
Τα επόμενα 10χίλιαρα να είναι Θανάση το ίδιο καλά κι' ακόμα καλύτερα , με τον γνωστό α λα KARKAR ρυθμό!
Μια ακόμη Γεωμετρική προσέγγιση του θέματος
Λέων ..KARKAR.PNG
Λέων ..KARKAR.PNG (11.56 KiB) Προβλήθηκε 681 φορές
Φέρω το ύψος AM που τέμνει την CE στο H. Αν a πλευρά του ισοπλεύρου τότε AM= a \sqrt {3}/2..DM=\dfrac{a}{2}-7 
 ενώ AE=a-8.
Θα εκφράσουμε το DM και με δεύτερη παράσταση του a.

Είναι \widehat{DAM}=\widehat{DCS} (ως οξείες με κάθετες πλευρές) άρα και \widehat{DAM}=\widehat{MBH} ( AM μεσοκάθετος του BC).

Τότε το ABDH εγγράψιμο συνεπώς \widehat{MDH}=\widehat{BAH}=30^{0} οπότε DM= \sqrt{3} MH.

Ώρα για Μενέλαο στο τρίγωνο BAM με διατέμνουσα την CHE : \dfrac{MH}{HA}\cdot \dfrac{AE}{EB}\cdot \dfrac{BC}{CM}=1\Rightarrow \dfrac{HM}{HA}=\dfrac{4}{a-8}\Rightarrow HM=\dfrac{4}{a-4}AM.

Βρίσκουμε DM=\sqrt{3}HM=\sqrt{3}\cdot \dfrac{4}{a-4}\cdot \dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{6a}{a-4}

και παίρνουμε \dfrac{6a}{a-4}= \dfrac{a}{2}-7 που μας δίνει τη γνωστή a^{2}-30a+56=0 άρα a=28.
Φιλικά , Γιώργος.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11878
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εξ ονύχων τον λέοντα

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Νοέμ 20, 2018 1:05 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Δευ Νοέμ 19, 2018 2:49 pm
Για την άσκηση, με αρχή των αξόνων το B(0,0) και C(a,0) οι υπόλοιπες συντεταγμένες είναι D(7, \, 0),\, E(4, \, 4\sqrt 3 ), \, A(a/2, \, a\sqrt 3/2 ). Η συνθήκη καθετότητας γίνεται \dfrac {4\sqrt 3}{4-a}\cdot \dfrac {a\sqrt 3 /2-0}{a/2-7}=-1. Λύνοντας είναι a=2 (απορρίπτεται) ή a=28.
H λύση που έγραψα προσαρμόζεται σε καθαρά γεωμετρική: Αυτό το φαινόμενο είναι συχνό στην Αναλυτική Γεωμετρία διότι πολλές αποδείξεις των θεωρημάτων - εδώ η συνθήκη καθετότητας που χρησιμοποίησα - βασίζεται σε γεωμετρικό επιχείρημα. Απλά μιμούμεθα τις γεωμετρικές αποδείξεις των θεωρημάτων που χρησιμοποιήσαμε. Εδώ:

Φέρνουμε τις κάθετες EF, AG από τα E, A στη BC. Άρα \angle DAG = \angle FCE (και οι δύο συμπληρωματικές της \angle ADC). Άρα τα ορθογώνια τρίγωνα EFC, \, ADC είναι όμοια, οπότε

\displaystyle{ \dfrac {EF}{FC}= \dfrac {DG}{AG}} ή \displaystyle{ \dfrac {4\sqrt 3}{a-4}= \dfrac {a/2-7}{a\sqrt3 /2}} . Λύνοντας είναι a=2 (απορρίπτεται) ή a=28.


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3990
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Εξ ονύχων τον λέοντα

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τρί Νοέμ 20, 2018 7:09 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Δεκ 31, 2016 9:19 am
Εξ ονύχων το λέοντα.pngΕπί των πλευρών BC,BA , ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC , παίρνω σημεία D,E , ώστε :

BD=7 και BE=8 . Αν AD \perp CE , υπολογίστε την πλευρά του τριγώνου .
Για να ευχαριστήσω θερμά τον Θανάση για την τεράστια προσφορά του στο :logo: (είναι μεγάλη αλήθεια ότι το "ΤΑΪΣΕ" αρκετά) ας γράψω μια λύση (με δημιουργική ασάφεια.... :D )

AD \bot CE \Leftrightarrow \dfrac{{a - 4}}{{a - \dfrac{{a - 8}}{2}}} = \dfrac{a}{{a - 7}} \Leftrightarrow \dfrac{{2a - 8}}{{a + 8}} = \dfrac{a}{{a - 7}} \Leftrightarrow {a^2} - 30a + 56 = 0\mathop  \Leftrightarrow \limits^{a > 8} \boxed{a = 28}

Θανάση ευχαριστώ θερμά για όλα...

Στάθης Κούτρας


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1833
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Εξ ονύχων τον λέοντα

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Τρί Νοέμ 20, 2018 10:52 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Δευ Νοέμ 19, 2018 10:42 pm
rek2 έγραψε:
Δευ Νοέμ 19, 2018 10:35 pm
Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Δευ Νοέμ 19, 2018 3:49 am
Καλημέρα! Ο κύριος λόγος που ανασύρω το παρόν θέμα είναι προς τιμήν του μοναδικού KARKAR
για τις -αυτή την ώρα- 10.000 δημοσιεύσεις του !!
...
Θανάση να τις χιλιάσεις!!!
:wallbash:
Χα χα χα! Σταύρο στα διασκεδαστικά μαθηματικά είμαστε!! :winner_first_h4h:


ἴδμεν ψεύδεα πολλὰ λέγειν ἐτύμοισιν ὁμοῖα,
ἴδμεν δ' εὖτ' ἐθέλωμεν ἀληθέα γηρύσασθαι
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7024
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εξ ονύχων τον λέοντα

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Νοέμ 20, 2018 2:53 pm

Να τα εκατονταπλασιάσεις τα 10.000 νύχια σου, «Λέοντα» του Κάμπου.

Όσο για το «αετόπουλο» που ανέβασε την πιο γρήγορη και μάλλον την πιο ενδεδειγμένη λύση του εύχομαι να πετάξει στην πιο ψιλή κορφή που επιθυμεί.


Έστω x το μήκος της πλευράς του ισόπλευρου τριγώνου ABC. Από Θ . συνημίτονου στο τρίγωνο ECB έχω : \boxed{C{E^2} = {x^2} - 8x + 64\,}\,\,\,(1)

Από Θ. Μενελάου στο \vartriangle EBC με διατέμνουσα την \overline {ASD} έχω :

\dfrac{{EA}}{{AB}} \cdot \dfrac{{BD}}{{DC}} \cdot \dfrac{{CS}}{{SE}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{x - 8}}{x} \cdot \dfrac{7}{{x - 7}} \cdot \dfrac{{CS}}{{SE}} = 1 και άρα \dfrac{{CS}}{{SE}} = \dfrac{{x(x - 7)}}{{7(x - 8)}}

Προσθέτω στους παρανομαστές τους αριθμητές και γίνεται :
Εξ όνυχας τον Λέοντα.png
Εξ όνυχας τον Λέοντα.png (25.01 KiB) Προβλήθηκε 612 φορές

\dfrac{{CS}}{{CE}} = \dfrac{{x(x - 7)}}{{{x^2} - 56}} \Rightarrow \boxed{\dfrac{{CS \cdot CE}}{{C{E^2}}} = \dfrac{{x(x - 7)}}{{{x^2} - 56}}}\,\,\,(2) Αν K η προβολή του E στη BC το

τετράπλευρο EKDS είναι εγγράψιμο και επομένως : \boxed{CS \cdot CE = CD \cdot CK = (x - 7)(x - 4)\,}\,\,(3).

Η (2) λόγω των (1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(3) δίδει : x({x^2} - 8x + 64) = (x - 4)({x^2} - 56) \Leftrightarrow (x - 2)(x - 28) = 0 , άρα x = 28


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1867
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Εξ ονύχων τον λέοντα

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τρί Νοέμ 20, 2018 4:06 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Δεκ 31, 2016 9:19 am
Εξ ονύχων το λέοντα.pngΕπί των πλευρών BC,BA , ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC , παίρνω σημεία D,E , ώστε :

BD=7 και BE=8 . Αν AD \perp CE , υπολογίστε την πλευρά του τριγώνου .
Εστω ότι ID//EC,EJ//AD


Τότε το τετράπλευρο ESDK

είναι ορθογώνιο και SD=EK=x,ES=KD=y


ID//EC\Rightarrow \dfrac{ID}{EC}=\dfrac{7}{a}=\dfrac{IB}{8}\Rightarrow IB=\dfrac{56}{a},(1), EJ//AD\Rightarrow\dfrac{EJ}{AD}=\dfrac{8}{a}=\dfrac{BJ}{7}\Rightarrow 

                BJ=\dfrac{56}{a},(2), 

              (1),(2)\Rightarrow


                 IB=BJ=IJ

Το τρίγωνο ECB


έχει μια γωνία 60^{0} άρα EC^{2}=64+a^{2}-8a

ομοιως στο EDB,DE^{2}=57=x^{2}+y^{2},


Απο τη συνθήκη καθετότητας είναι

JI^{2}+ED^{2}=EI^{2}+JD^{2}\Rightarrow t^{2}-   
            
                          30t+56=0,t=\dfrac{56}{a}, t=2,a=28




Γιάννης


Θανάση σου ευχομαι να είσαι υγειής και δυνατός και να συνεχίσεις τις δημοσιεύσεις στον ίδιο ρυθμό
μεταβολής .....................
Συνημμένα
Εξ ονύχων του λέοντα.png
Εξ ονύχων του λέοντα.png (100.48 KiB) Προβλήθηκε 598 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3270
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Εξ ονύχων τον λέοντα

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Τρί Νοέμ 20, 2018 4:59 pm

Εδώ το αντίστροφο πρόβλημα!

Θανάση, ότι και να πούμε είσαι φαινόμενο...εύχομαι να αγγίξεις το 1 googol σε δημοσιεύσεις :D


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1765
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Εξ ονύχων τον λέοντα

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τρί Νοέμ 20, 2018 10:18 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Δεκ 31, 2016 9:19 am
Εξ ονύχων το λέοντα.pngΕπί των πλευρών BC,BA , ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC , παίρνω σημεία D,E , ώστε :

BD=7 και BE=8 . Αν AD \perp CE , υπολογίστε την πλευρά του τριγώνου .

Με \displaystyle DZ \bot AB,AN \bot BC, το \displaystyle Pείναι ορθόκεντρο του \displaystyle \vartriangle ADC,άρα \displaystyle DP \bot AC και \displaystyle \angle HDC = {30^0}

Επομένως \displaystyle HC = \frac{{a - 7}}{2} \Rightarrow AH = \frac{{a + 7}}{2}.Ακόμη, \displaystyle BZ = \frac{7}{2} \Rightarrow AZ = a - \frac{7}{2}

Είναι , \displaystyle AE \cdot AZ = AS \cdot AD = AP \cdot AN = AH \cdot AC \Rightarrow \left( {a - 8} \right)\left( {a - \frac{7}{2}} \right) = a\left( {\frac{{a + 7}}{2}} \right)

Δεκτή λύση \displaystyle \boxed{a = 28}
εξ ονύχων τον λέοντα.png
εξ ονύχων τον λέοντα.png (84.92 KiB) Προβλήθηκε 558 φορές


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11344
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Εξ ονύχων τον λέοντα

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Νοέμ 21, 2018 3:02 pm

10.000.png
10.000.png (13.82 KiB) Προβλήθηκε 514 φορές
Ευχαριστώ τους φίλους για τις ευχές αλλά κυρίως για τις λύσεις τους . Ας γράψω κι εγώ την

διανυσματική : \vec{DA}\cdot\vec{EC}=0\Leftrightarrow (\vec{BA}-\dfrac{7}{a}\vec{BC})\cdot(\vec{BC}-\dfrac{8}{a}\vec{BA})=0\Leftrightarrow

( αφού (\vec{BA}^2=\vec{BC}^2=a^2 , \vec{BA}\cdot\vec{BC}=\dfrac{a^2}{2} )

\Leftrightarrow a^2-30a+56=0\Leftrightarrow a=28 , αφού για την πλευρά είναι a>8 .


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες