Μεγάλες κατασκευές

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11665
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μεγάλες κατασκευές

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Νοέμ 30, 2016 2:49 pm

Μεγάλες κατασκευές.png
Μεγάλες κατασκευές.png (11.88 KiB) Προβλήθηκε 585 φορές
Σχεδιάστε ισοσκελές τρίγωνο ABC , (AB=AC) , με την εξής ιδιότητα : Αν η

διχοτόμος BD και το ύψος CE τέμνονται στο S , να είναι : \widehat{CAS}=2\widehat{BAS} .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9454
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μεγάλες κατασκευές

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Αύγ 22, 2017 9:58 am

KARKAR έγραψε:Μεγάλες κατασκευές.pngΣχεδιάστε ισοσκελές τρίγωνο ABC , (AB=AC) , με την εξής ιδιότητα : Αν η

διχοτόμος BD και το ύψος CE τέμνονται στο S , να είναι : \widehat{CAS}=2\widehat{BAS} .
Μεγάλες κατασκευές.png
Μεγάλες κατασκευές.png (11.41 KiB) Προβλήθηκε 370 φορές
Το πρόβλημα έχει άπειρες λύσεις αφού δεν γνωρίζουμε καμία πλευρά. Θα αρκεστούμε λοιπόν να "κατασκευάσουμε" ένα

ισοσκελές τρίγωνο όμοιο με το δοσμένο. Αρκεί να υπολογίσουμε τη γωνία \theta. Με τριγωνομετρικό Ceva:

\displaystyle{\frac{{\sin \theta }}{{\sin 2\theta }} \cdot \frac{{\cos 3\theta }}{{\sin \frac{{3\theta }}{2}}} \cdot \frac{{\sin \frac{B}{2}}}{{\sin \frac{B}{2}}} = 1 \Leftrightarrow \cos 3\theta  = 2\cos \theta \sin \frac{{3\theta }}{2} \Leftrightarrow 4{\cos ^3}\theta  - 3\cos \theta  = 2\cos \theta \sin \frac{{3\theta }}{2} \Leftrightarrow }

\displaystyle{\cos \theta \left( {4{{\cos }^2}\theta  - 3 - 2\sin \frac{{3\theta }}{2}} \right) = 0\mathop  \Leftrightarrow \limits^{\theta  \ne \frac{\pi }{2}} 4{\left( {1 - 2{{\sin }^2}\frac{\theta }{2}} \right)^2} - 3 - 2\left( {3\sin \frac{\theta }{2} - 4{{\sin }^3}\frac{\theta }{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow }

\displaystyle{16{\sin ^4}\frac{\theta }{2} + 8{\sin ^3}\frac{\theta }{2} - 16{\sin ^2}\frac{\theta }{2} - 6\sin \frac{\theta }{2} + 1 = 0\mathop  \Leftrightarrow \limits^{\frac{\theta }{2} = x} 16{x^4} + 8{x^3} - 16{x^2} - 6x + 1 = 0 \Leftrightarrow }

\displaystyle{8{x^3}(2x + 1) - (2x + 1)(8x - 1)\mathop  \Leftrightarrow \limits^{2x + 1 \ne 0} } \boxed{8x^3-8x+1=0}

Από την τελευταία αυτή εξίσωση παίρνω (με λογισμικό) την δεκτή ρίζα \displaystyle{x \simeq 0,127051} που δίνει \boxed{\theta \simeq 14,59841^0}

Επομένως: \boxed{\widehat A \simeq {43,79524^0},\widehat B = \widehat C \simeq {68,10238^0}}


Αφού τελικά η λύση βγαίνει με λογισμικό, θα μπορούσα να το κάνω από την αρχή στη μορφή \displaystyle{\cos 3\theta  = 2\cos \theta \sin \frac{{3\theta }}{2} }

Ήθελα όμως να φανεί, ότι προσπάθησα να τη λύσω :lol:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες