Ακεραιότητα σε κάθε θέση

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12465
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ακεραιότητα σε κάθε θέση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Οκτ 18, 2016 2:44 pm

Ακεραιότητα  σε  κάθε  θέση.png
Ακεραιότητα σε κάθε θέση.png (14.04 KiB) Προβλήθηκε 270 φορές
Το ημικύκλιό μας κέντρου O(0,0) έχει ακέραια ακτίνα και διάμετρο AB στον x'x .

Σημείο S βρίσκεται στο εσωτερικό του ημικυκλίου και έχει ακέραιες συντεταγμένες .

Η AS τέμνει το τόξο στο P . Εξετάστε αν και το γινόμενο AS\cdot SP είναι ακέραιος !



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10365
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ακεραιότητα σε κάθε θέση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Οκτ 18, 2016 3:13 pm

KARKAR έγραψε:Ακεραιότητα σε κάθε θέση.pngΤο ημικύκλιό μας κέντρου O(0,0) έχει ακέραια ακτίνα και διάμετρο AB στον x'x .

Σημείο S βρίσκεται στο εσωτερικό του ημικυκλίου και έχει ακέραιες συντεταγμένες .

Η AS τέμνει το τόξο στο P . Εξετάστε αν και το γινόμενο AS\cdot SP είναι ακέραιος !
Έστω S(a,b), \displaystyle{a,b \in {\mathbb{N}^*}}. Είναι: \displaystyle{AS \cdot SP = {R^2} - S{O^2} = {R^2} - {a^2} - {b^2} \in {\mathbb{N}^*}}


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 807
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Ακεραιότητα σε κάθε θέση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τρί Οκτ 18, 2016 3:16 pm

Φέρνουμε την PB και από το S κάθετη στην AB, που την τέμνει στο C. Έστω ότι AC=y, SC=x, BC=z και SP=w. Προφανώς τα x, y και z είναι ακέραια. Ταυτόχρονα ισχύει ότι AS=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Ακόμη τα τρίγωνα APB και ASC είναι όμοια. Έχουμε:

\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}+w}{y}=\frac{y+z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+w\sqrt{x^{2}+y^{2}}=y^{2}+yz\Leftrightarrow w\sqrt{x^{2}+y^{2}}=yz-x^{2}

Όμως w\sqrt{x^{2}+y^{2}}=AS\cdot SP και yz-x^{2} είναι ακέραιος, καθώς x, y και z ακέραιοι, συνεπώς AS\cdot SP πάντα ακέραιος!


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7833
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ακεραιότητα σε κάθε θέση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Οκτ 18, 2016 5:10 pm

KARKAR έγραψε:Ακεραιότητα σε κάθε θέση.pngΤο ημικύκλιό μας κέντρου O(0,0) έχει ακέραια ακτίνα και διάμετρο AB στον x'x .

Σημείο S βρίσκεται στο εσωτερικό του ημικυκλίου και έχει ακέραιες συντεταγμένες .

Η AS τέμνει το τόξο στο P . Εξετάστε αν και το γινόμενο AS\cdot SP είναι ακέραιος !
Έστω O η αρχή των αξόνων και A( - a,0)\,\,,\,\,B(a,0)\,\,\mu \varepsilon \,\,a \in \mathbb{Z}. Ακόμα S(u,v)\,\,\mu \varepsilon \,\,\,u,v \in \mathbb{Z}.
Ακεραιότητα σε κάθε θέση.png
Ακεραιότητα σε κάθε θέση.png (18.99 KiB) Προβλήθηκε 245 φορές
AS \cdot SP = \overrightarrow {AS}  \cdot \overrightarrow {SP}  = \overrightarrow {AS}  \cdot \overrightarrow {SB}  \in \mathbb{Z} γιατί τα διανύσματα \overrightarrow {AS} \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\overrightarrow {SB} έχουν ακέραιες συντεταγμένες.

Φιλικά Νίκος


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης