Έχει κανένας αλφάδι;

[chris_gatos]

Πριν απο λίγες ημέρες,είχε δώσει ο Μπάμπης μια άσκηση με ένα πλοίο που κινούνταν νότια,βόρεια κτλ
Λύθηκε απο τους συναδέλφους,θεωρώντας πως η Γή είναι επίπεδη και το επισήμανα πως έτσι ίσως μπερδέψουμε τα παιδιά
γιατί στη γεωγραφία μαθαίνουν πως η Γή είναι σφαιρική.(δεν το έλεγα εγώ,ο Polya το είπε).
Μιλάμε δηλαδή για το <<μαθηματικό>> και τον <<πραγματικό>> κόσμο.
Δίνω το παρακάτω πρόβλημα,για συζήτηση:
Μια σκάλα με μήκος 8,5 μέτρα ακουμπά στην κορυφή ενός τοίχου με ύψος 8 μέτρα.
Η βάση της σκάλας απέχει απο τον τοίχο 3 μέτρα.Ο τοίχος είναι κάθετος στο έδαφος;;

Υ.Γ Το πρόβλημα αυτό είναι απο το νέο βιβλίο του Γ.Ρίζου ''Στο δρόμο για τον PISA''.

[vittasko]

Χρήστο καλημέρα.

Απ' ότι βλέπω, ο τοίχος γέρνει αρκετά προς τα έξω και αν δεν έχω κάνει λάθος στις πράξεις, τότε με σφάλμα 0,125 μέτρα από την κατακόρυφη αλφαδιά, πρέπει να κατεδαφιστεί.

Εκτός αν πρόκειται για κοινοτικό έργο και ο επιβλέπων με τον χτίστη τα έχουν κάνει ''πλακάκια''....

Αν τώρα πρόκειται για το παλιό χωριάτικο πέτρινο σπίτι του παππού, ένα τέτοιο σφάλμα είναι κάτι συνηθισμένο με τόσες καθιζήσεις και παραμορφώσεις που έχουν συμβεί με την πάροδο του χρόνου.

Κώστας Βήττας.

[chris_gatos]

Καλημέρα Κώστα!Ως περιεκτικότερη επεξήγηση σου,δέχομαι αυτή με το κοινοτικό έργο!
Αυτή νομίζω πως δέχεται και το G(reat) A(ssesment) P(roblems) book (GAP) απ'όπου και η παραλλαγή της άσκησης...
Ο Γ.Ρίζος γράφει χαρακτηριστικά:
Στο ''μαθηματικό'' κόσμο φυσικά και δεν πρόκειται περί ορθογωνίου τριγώνου...
Όμως στον ''πραγματικό'',τον κόσμο της προσέγγισης,ίσως και να..είναι!
Οι υπεύθυνοι του GAP δέχονταν σωστή τη δεύτερη σκέψη,δηλαδή πως είναι ορθογώνιο κατά σύμβαση...
Κι όλα αυτά γιατί οι μετρήσεις μας στον ''πραγματικό'' κόσμο δεν είναι πάντα και τόσο ακριβείς.
Καλά που υπάρχουν και τ'αλφάδια!

[Γιώργος Ρίζος]

Αγαπητοί φίλοι,

ο Αρχιτέκτων και Γεωμέτρης Κώστας Βήττας, πιστεύω ότι εκπλήσσεται από το απλοϊκό θέμα του "προβλήματος".

Σας διαβεβαιώ ότι και εγώ εξεπλάγην όταν το πρωτοδιάβασα, αναζητώντας (το 2004) τις πηγές των θεμάτων του διαγωνισμού PISA και των Ρεαλιστικών Μαθηματικών.

Το θέμα λέει:

Here you see the top view of two adjoining houses, sharing their back yard. The neighbors want to build a fence dividing the yard in half. In the drawing some of the measurements they made are shown. The fence for example has a length of eight meters. Of course the fence should be perpendicular with the back wall of the houses. Decide whether the angle is a right angle. Show your work.


Answer: The angle is right (90 degrees).
8^2 + 3^2 = 73
sqrt(73) ~ 8.5, which is indeed the length that was measured.

GAP_01.png (206.31 KiB) Προβλήθηκε 1701 φορές

Note: If a student concludes the angle is not a right one since sqrt(73) = 8.5440… which is over 8.5, he will receive partial credit. A student should be aware that in this (realistic) situation you cannot have measurements with four decimals or more. In the drawing only one decimal is shown, 8.5 metres equals 8 metres and 50 centimetres. This means the accuracy does not go beyond 10 centimetres. The same accuracy should hold for the answers.

Με λίγα λόγια, στο διαχωριστικό του σχήματος έχουν σημειωθεί οι διαστάσεις και οι μαθητές ρωτούνται αν το διαχωριστικό είναι κάθετο στον τοίχο.
Αν απαντήσουν όχι, έχουν κάνει λάθος, γιατί έπρεπε να δώσουν την απάντηση υπό προσέγγιση.
Το βιβλίο είναι έκδοση του Ίνστιτούτου Freudenthal της Ολλανδίας, βασικού συντελεστή του διαγωνισμού PISA.

Συμπεριέλαβα αυτό το θέμα στο βιβλίο "Ο δρόμος για τον PISA" για να πάρουν οι αναγνώστες μια ιδέα για τα Ρεαλιστικά Μαθηματικά.

Δεν απορρίπτω το περιεχόμενο και τη διδακτική αξία των "προβλημάτων της καθημερινότητας"!
Πάρα πολλά μου αρέσουν και τα χρησιμοποιώ για να τραβήξω το ενδιαφέρον των μαθητών.

Θέλω όμως να επισημάνω τους κινδύνους που ελλοχεύουν σε μια τεχνητή και απρόσεκτη προσαρμογή των Αναλυτικών μας Προγραμμάτων σε τέτοια πρότυπα.
Για φανταστήτε π.χ. να αρχίσουμε να λέμε στους μαθητές λύστε το ένα πρόβλημα "μαθηματικά" και το άλλο "ρεαλιστικά"...

Δεν είμαι υπερβολικός. Θυμάστε το βιβλίο Μαθηματικά Τεχν. Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου, ΟΕΔΒ 1998, που γρήγορα (ευτυχώς) καταργήθηκε.
Εκεί βρίσκαμε εκφωνήσεις, όπως οι παρακάτω:
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές 3,7 ± 0,05 και 8,9 ± 0,05
Ακόμα Η διάσταση x είναι ίση με τα 2/3 της y, που όμως δίνεται στο περίπου...
ή Ισοσκελές τραπέζιο έχει πλάγιες πλευρές 5 ± 0,2 m
σ. 54, ασκ. Β΄ ομ. 1, 2 και σ. 71

Τίθεται βέβαια το ερώτημα: Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ισχύει το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Σε ένα περίπου ορθογώνιο, θα ισχύει το "Περίπου Πυθαγόρειο Θεώρημα;" Και ποιο είναι αυτό (περίπου); Πώς δηλώνουμε ότι δύο μήκη είναι ίσα, και ταυτόχρονα λέμε ότι είναι περίπου τόσο; Στο περίπου ισοσκελές τραπέζιο, οι βάσεις θα είναι παράλληλες ή περίπου παράλληλες;

Φιλικά
Γιώργος Ρίζος

[vittasko]

Εμείς πάντως Γιώργο, τους δικούς μας τεχνίτες (ντόπιους αλλά και αλλοδαπούς), τους έχουμε δασκαλέψει καλύτερα.

Με το "κόλπο" 3, 4, 5, θα μετρήσουν την απόσταση από το μέσον της πλευράς των 8 μέτρων μέχρι το άλλο άκρο της βάσης των 3 μέτρων (οριζόντια, υποτίθεται αλφαδιασμένη) και επειδή η μετροταινία τους δεν θα δείξει ακριβώς 5 μέτρα (κοντά τέσσερα εκατοστά του μέτρου λιγότερο, είναι μετρήσιμα στον πραγματικό κόσμο), θα σου πουν με σιγουριά ότι η γραμμή στον τοίχο, δεν είναι κατακόρυφη και θα τη διορθώσουν ασυζητητί....

(πολυ απλά, κρατάνε σταθερή την αρχή της μετροταινίας στο αριστερό άκρο της βάσης των 3 μέτρων, στο άλλο άκρο της την ένδειξη των 9 μέτρων και τεντώνοντας την μετροταινία, ταιριάζουν ένα καρφί στην ένδειξη των 4 μέτρων).

Κώστας Βήττας.

[Γιώργος Ρίζος]

Δίνω σε συνημμένο αρχείο ένα τμήμα μιας εργασίας που κάναμε παλαιότερα σε ένα Γυμνάσιο με θέμα Εμβαδά και Πυθαγόρειο.

Τη σοφή πρακτική μέθοδο που περιέγραψε ο Κώστας Βήττας την εφαρμόσαμε στην αυλή με τους πιο ... ζωηρούς μαθητές και μάλιστα βιντεοσκοπήσαμε την εργασία.
Μπορεί κάποιοι απ΄αυτούς να μην έμαθαν περισσότερα μαθηματικά, έπαψαν όμως να τα φοβούνται τόσο. Κι αυτό έχει τη σημασία του.

Αυτά είναι τα "Ρεαλιστικά Μαθηματικά", που μπορούν να προκαλέσουν το ενδιαφέρον των μαθητών.
Από εκεί και πέρα κάθε έκπτωση στην αυστηρότητα και την ακρίβεια των μαθηματικών υποσκάπτουν την ουσία τους.

Γιώργος Ρίζος