Προπόνηση για το διαγωνισμό Καγκουρό

[Demetres]

Στα δάση ενός μαγικού νησιού, βόσκουν τρία είδη ζώων: λιοντάρια, λύκοι και πρόβατα. Οι λύκοι μπορούν να φάνε τα πρόβατα, τα λιοντάρια μπορούν να φάνε είτε λύκους είτε πρόβατα. Όμως, επειδή αυτό είναι μαγικό νησί: Αν ο λύκος φάει ένα πρόβατο, μετατρέπεται σε λιοντάρι. Αν το λιοντάρι φάει ένα πρόβατο, μετατρέπεται σε λύκο. Αν το λιοντάρι φάει ένα λύκο, μετατρέπεται σε πρόβατο. Αρχικά υπήρχαν στο νησί 17 πρόβατα, 55 λύκοι και 6 λιοντάρια. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος δυνατός αριθμός ζώων που θα μείνουν στο νησί μετά που δεν θα μπορεί πλέον να τρώει το ένα το άλλον.


Παιδιά πως λύνεται αυτή η ασκηση?Έχω πάρει συνδυασμούς και όλα καταλήγουν σε 1 και οχι 23 που δόθηκε ως απάντηση ..

Μάλλον η εκφώνηση έπρεπε να λέει «Ποιος είναι ο μεγαλύτερος δυνατός αριθμός ζώων που μπορεί να μείνουν στο νησί μετά που δεν θα μπορεί πλέον να τρώει το ένα το άλλον.»

Υπάρχουν περιπτώσεις που καταλήγουμε σε μόνο ένα ζώο αλλά μπορούμε να καταλήξουμε σε 23 ως εξής:

Αρχικά έχουμε 17,55,6 ζώα
Έξι φορές βάζουμε τα λιοντάρια να φάνε λύκο οπότε καταλήγουμε σε 23,49,0 ζώα.
Βάζουμε τώρα ένα λύκο να φάει ένα πρόβατο και καταλήγουμε σε 22,48,1 ζώα.
Αν τώρα ένα λιοντάρι φάει ένα λύκο πάμε σε 23,47,0 ζώα.
Επαναλαμβάνουμε τα δύο τελευταία βήματα άλλες 12 φορές. Σε κάθε επανάληψη ο αριθμός των λύκων μειώνεται κατά 2 οπότε πάμε σε 23,23,0 ζώα.
Στα επόμενα 23 βήματα ένας λύκος τρώει ένα πρόβατο για να καταλήξουμε σε 0,0,23 ζώα.
Τώρα δεν μπορούν να γίνουν άλλες κινήσεις.

Μπορεί να δειχθεί ότι δεν μπορούμε να έχουμε περισσότερα από 23 ζώα. Πράγματι αρχικά έχουμε συνολικά 23 λιοντάρια και πρόβατα. Ο συνολικός αριθμός λιονταριών και προβάτων δεν μπορεί να αυξηθεί. (Π.χ. αν ένας λιοντάρι φάει ένα λύκο, ο αριθμός των προβάτων θα αυξηθεί κατά ένα αλλά ο αριθμός των λιονταριών θα μειωθεί κατά ένα, οπότε ο αριθμός των λιονταριών και προβάτων δεν θα αλλοιωθεί κ.τ.λ.)

Οπότε και στο τέλος θα έχουμε το πολύ 23 λιοντάρια και πρόβατα. Οπότε αν στο τέλος έχουμε μόνο λιοντάρια ή μόνο πρόβατα, τότε θα έχουμε το πολύ 23 ζώα. Δεν μπορούμε να έχουμε μόνο λύκους στο τέλος. Αυτό ισχύει διότι τότε θα έχουμε 0 λιοντάρια και 0 πρόβατα. Όμως μπορούμε να ελέγξουμε ότι πάντα θα έχουμε συνολικά περιττό αριθμό λιονταριών και προβάτων, άτοπο.

Άρα συνολικά έχουμε το πολύ 23 ζώα. Δείξαμε επίσης πιο πάνω ένα τρόπο για να έχουμε ακριβώς 23 ζώα.

[Grosrouvre]

ΓΙΑ ΤΗΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΑΙ ΤΗΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ:

Αν και , τότε η παράσταση: ισούται με:

Α) , B) , Γ) , Δ) , E)

Σωστή απάντηση η Δ.

Είναι

Για , έχουμε:



(καθώς )

Επομένως,

.

[kathy1986]

Στα δάση ενός μαγικού νησιού, βόσκουν τρία είδη ζώων: λιοντάρια, λύκοι και πρόβατα. Οι λύκοι μπορούν να φάνε τα πρόβατα, τα λιοντάρια μπορούν να φάνε είτε λύκους είτε πρόβατα. Όμως, επειδή αυτό είναι μαγικό νησί: Αν ο λύκος φάει ένα πρόβατο, μετατρέπεται σε λιοντάρι. Αν το λιοντάρι φάει ένα πρόβατο, μετατρέπεται σε λύκο. Αν το λιοντάρι φάει ένα λύκο, μετατρέπεται σε πρόβατο. Αρχικά υπήρχαν στο νησί 17 πρόβατα, 55 λύκοι και 6 λιοντάρια. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος δυνατός αριθμός ζώων που θα μείνουν στο νησί μετά που δεν θα μπορεί πλέον να τρώει το ένα το άλλον.


Παιδιά πως λύνεται αυτή η ασκηση?Έχω πάρει συνδυασμούς και όλα καταλήγουν σε 1 και οχι 23 που δόθηκε ως απάντηση ..

Μάλλον η εκφώνηση έπρεπε να λέει «Ποιος είναι ο μεγαλύτερος δυνατός αριθμός ζώων που μπορεί να μείνουν στο νησί μετά που δεν θα μπορεί πλέον να τρώει το ένα το άλλον.»

Υπάρχουν περιπτώσεις που καταλήγουμε σε μόνο ένα ζώο αλλά μπορούμε να καταλήξουμε σε 23 ως εξής:

Αρχικά έχουμε 17,55,6 ζώα
Έξι φορές βάζουμε τα λιοντάρια να φάνε λύκο οπότε καταλήγουμε σε 23,49,0 ζώα.
Βάζουμε τώρα ένα λύκο να φάει ένα πρόβατο και καταλήγουμε σε 22,48,1 ζώα.
Αν τώρα ένα λιοντάρι φάει ένα λύκο πάμε σε 23,47,0 ζώα.
Επαναλαμβάνουμε τα δύο τελευταία βήματα άλλες 12 φορές. Σε κάθε επανάληψη ο αριθμός των λύκων μειώνεται κατά 2 οπότε πάμε σε 23,23,0 ζώα.
Στα επόμενα 23 βήματα ένας λύκος τρώει ένα πρόβατο για να καταλήξουμε σε 0,0,23 ζώα.
Τώρα δεν μπορούν να γίνουν άλλες κινήσεις.

Μπορεί να δειχθεί ότι δεν μπορούμε να έχουμε περισσότερα από 23 ζώα. Πράγματι αρχικά έχουμε συνολικά 23 λιοντάρια και πρόβατα. Ο συνολικός αριθμός λιονταριών και προβάτων δεν μπορεί να αυξηθεί. (Π.χ. αν ένας λιοντάρι φάει ένα λύκο, ο αριθμός των προβάτων θα αυξηθεί κατά ένα αλλά ο αριθμός των λιονταριών θα μειωθεί κατά ένα, οπότε ο αριθμός των λιονταριών και προβάτων δεν θα αλλοιωθεί κ.τ.λ.)

Οπότε και στο τέλος θα έχουμε το πολύ 23 λιοντάρια και πρόβατα. Οπότε αν στο τέλος έχουμε μόνο λιοντάρια ή μόνο πρόβατα, τότε θα έχουμε το πολύ 23 ζώα. Δεν μπορούμε να έχουμε μόνο λύκους στο τέλος. Αυτό ισχύει διότι τότε θα έχουμε 0 λιοντάρια και 0 πρόβατα. Όμως μπορούμε να ελέγξουμε ότι πάντα θα έχουμε συνολικά περιττό αριθμό λιονταριών και προβάτων, άτοπο.

Άρα συνολικά έχουμε το πολύ 23 ζώα. Δείξαμε επίσης πιο πάνω ένα τρόπο για να έχουμε ακριβώς 23 ζώα.

Ευχαριστώ πολύ για την άμεση απάντηση!Να ρωτήσω και για ακόμη ενα προβλημα που βρίσκεται στο ίδιο γραπτό ,αν μπορείτε να με βοηθήσετε :

The label on a package of cream cheese reads: 24 % total fat. The same label also reads: 64 % fat in dry matter. What is the percentage of water in this cheese?
A) 88% B) 62.5% C) 49% D) 42% E) 37.5%

[Mihalis_Lambrou]

Μάλλον η εκφώνηση έπρεπε να λέει <...>

Σωστά.

Για να διευκρινίσω, ώστε να μην υπάρχουν παρεξηγήσεις, η παραπάνω μετάφραση δεν είναι από τον διαγωνισμό Καγκουρό στην Ελλάδα (την οποία μετάφραση και επιμέλεια την έκανα εγώ), αλλά από την μετάφραση στην Κύπρο (που έγινε ανεξάρτητα).

[Δημητράκι]

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:

(1) Ο κύριος Κώστας ρώτησε τον θείο του πόσων ετών είναι και εκείνος του απάντησε:
"Σε περνάω 15 χρόνια και μετά από 15 χρόνια θα έχω τα διπλάσια χρόνια από ότι είσαι εσύ σήμερα."
Πόσων ετών είναι ο θείος;

Εγώ πιστεύω ότι ο ανηψιός είναι 30 και ο Θείος 45.
α) Σε περνάω σήμερα 15 χρόνια (30+15=45)
β) Σε 15 χρόνια θα έχω τα διπλάσια από αυτά που έχεις σήμερα[/b] δηλ. 60.

και με εξισώσεις :
Κ= ηλικία Κώστα
Θ= Ηλικία Θείου

α) Κ+15=Θ
β)2Κ=Θ+15

Λύνοντας ως προς Κ ή Θ βρίσκουμε ότι Κ=30 και Θ=45 .
Όντως είναι 15 χρόνια μεγαλύτερος ο θείος από τον Κώστα σήμερα και σε 15 χρόνια από τώρα θα έχει την διπλάσια ηλικία από αυτή που έχει σήμερα (πάντα) ο Κώστας.

[Δημητράκι]

(1) Ο κύριος Κώστας ρώτησε τον θείο του πόσων ετών είναι και εκείνος του απάντησε:
"Σε περνάω χρόνια και μετά από χρόνια θα έχω τα διπλάσια χρόνια από ότι είσαι εσύ σήμερα."
Πόσων ετών είναι ο θείος;
;

15 ετών είαι ο Κώστας
Αν ο θείος τον παιρνάει 15 χρόνια, τότε ο θειος είναι 30 χρονών.
Μετά από 15 χρόνια ο θείος θα είναι 30+15=45 ετών.
Αφού είπε ότι θα μετά από 15 χρόνια θα έχει τα διπλάσια θα είναι 45*2=90 ετών

Το παραπάνο είναι λάθος διότι αν ο Κώστας είναι , ο θείος είναι ετών. Άρα εδώ βλέπουμε ότι ο θείος έχει τα διπλάσια χρόνια από τον ανηψιό. Αλλά επειδή ο θείος είπε ότι θα έχει τα διπλάσια χρόνια μετά από 15 χρόνια ο θείος είναι χρονών.

Εγώ πιστεύω ότι ο ανηψιός είναι 30 και ο Θείος 45.
α) Σε περνάω σήμερα 15 χρόνια (30+15=45)
β) Σε 15 χρόνια θα έχω τα διπλάσια από αυτά που έχεις σήμερα δηλ. 60.

και με εξισώσεις :
Κ= ηλικία Κώστα
Θ= Ηλικία Θείου

α) Κ+15=Θ
β)2Κ=Θ+15

Λύνοντας ως προς Κ ή Θ βρίσκουμε ότι Κ=30 και Θ=45 .
Όντως είναι 15 χρόνια μεγαλύτερος ο θείος από τον Κώστα σήμερα και σε 15 χρόνια από τώρα θα έχει την διπλάσια ηλικία από αυτή που έχει σήμερα (πάντα) ο Κώστας.

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

ΓΙΑ ΤΗΝ Ε και ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ
Τρεις φίλοι Α,Β,Γ έχουν αβγά και ο Α έχει τα διπλάσια από όσα έχουν οι άλλοι δύο μαζί.
Αν ο Β δώσει τα μισά από τα δικά του στον Α και τα άλλα μισά στον Γ, τότε ο Α θα έχει τριπλάσια αβγά από τον Γ.
Τα αβγά που έχει ο Γ στο τέλος είναι:

(α) 2 , (β) 4 , (γ) 5 , (δ) 6 , (ε) 7

[Henri van Aubel]

ΓΙΑ ΤΗΝ Ε και ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ
Τρεις φίλοι Α,Β,Γ έχουν αβγά και ο Α έχει τα διπλάσια από όσα έχουν οι άλλοι δύο μαζί.
Αν ο Β δώσει τα μισά από τα δικά του στον Α και τα άλλα μισά στον Γ, τότε ο Α θα έχει τριπλάσια αβγά από τον Γ.
Τα αβγά που έχει ο Γ στο τέλος είναι:

(α) 2 , (β) 4 , (γ) 5 , (δ) 6 , (ε) 7

Ο έχει αυγά

Αν ο δώσει αυγά στον τότε ο θα έχει αυγά

Επιπλέον, δεδομένης της δεύτερης δοσοληψίας, έπεται ότι ο θα έχει αυγά

Άρα είναι

Άρα, ο έχει στο τέλος αυγά

Η μόνη δυνατή απάντηση είναι η (δ), γιατί θα πρέπει ο Β να είναι μόντουλο 2 και άρα ο αριθμός που θέλω είναι μόντουλο 3

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

ΓΙΑ ΤΗΝ Ε και ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ
Τρεις φίλοι Α,Β,Γ έχουν αβγά και ο Α έχει τα διπλάσια από όσα έχουν οι άλλοι δύο μαζί.
Αν ο Β δώσει τα μισά από τα δικά του στον Α και τα άλλα μισά στον Γ, τότε ο Α θα έχει τριπλάσια αβγά από τον Γ.
Τα αβγά που έχει ο Γ στο τέλος είναι:

(α) 2 , (β) 4 , (γ) 5 , (δ) 6 , (ε) 7

Ο έχει αυγά

Αν ο δώσει αυγά στον τότε ο θα έχει αυγά

Επιπλέον, δεδομένης της δεύτερης δοσοληψίας, έπεται ότι ο θα έχει αυγά

Άρα είναι

Άρα, ο έχει στο τέλος αυγά

Η μόνη δυνατή απάντηση είναι η (δ), γιατί θα πρέπει ο Β να είναι μόντουλο 2 και άρα ο αριθμός που θέλω είναι μόντουλο 3

Επειδή οι μαθητές Δημοτικού (που λαμβάνουν μέρος στο ΚΑΓΚΟΥΡΟ) αδυνατούν στην συντριπτική τους πλειοψηφία να αντιμετωπίζουν τα προβλήματα με εξισώσεις, θα μπορέσουν να απαντήσουν με την μέθοδο του αποκλεισμού των μη ορθών απαντήσεων που δίνονται .

Είναι μια καλή σπαζοκεφαλιά θεωρώ για μικρά παιδιά.