Διαλέξτε τον βαθμό σας

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12627
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Διαλέξτε τον βαθμό σας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Ιουν 10, 2021 12:54 pm

Διαλέξτε τον  βαθμό  σας.png
Διαλέξτε τον βαθμό σας.png (16.28 KiB) Προβλήθηκε 319 φορές
Πάνω στον κύκλο (O,3) , επιλέξτε σημεία P ,T και σχεδιάστε το τρίγωνο SPT .

Το εμβαδόν αυτού του τριγώνου ( αφού το υπολογίσετε ) , είναι ο βαθμός σας .

Αν θέλετε άριστα 20 , βρείτε επιπλέον ένα τέτοιο τρίγωνο με εμβαδόν 10 τ. μ.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10553
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Διαλέξτε τον βαθμό σας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Ιουν 10, 2021 5:05 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Ιουν 10, 2021 12:54 pm
Διαλέξτε τον βαθμό σας.pngΠάνω στον κύκλο (O,3) , επιλέξτε σημεία P ,T και σχεδιάστε το τρίγωνο SPT .

Το εμβαδόν αυτού του τριγώνου ( αφού το υπολογίσετε ) , είναι ο βαθμός σας .

Αν θέλετε άριστα 20 , βρείτε επιπλέον ένα τέτοιο τρίγωνο με εμβαδόν 10 τ. μ.
Για το "άριστα".
Για το άριστα.png
Για το άριστα.png (13.78 KiB) Προβλήθηκε 273 φορές
\displaystyle \cos \theta  = \frac{x}{3},PT = 6\sin \theta  \Rightarrow \boxed{PT = 2\sqrt {9 - {x^2}} }

\displaystyle (SPT) = \frac{{PT(6 - x)}}{2} \Leftrightarrow (6 - x)\sqrt {9 - {x^2}}  = 10 \Leftrightarrow \boxed{x\simeq 1,81439}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7974
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Διαλέξτε τον βαθμό σας

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Ιουν 10, 2021 6:27 pm

Διαλέξτε το βαθμός σας.png
Διαλέξτε το βαθμός σας.png (17.42 KiB) Προβλήθηκε 251 φορές
Για το άριστα ( αφού το 18 είναι προφανές ότι το παίρνουν άπαντες )

Αρκεί \left( {TKS} \right) = 5 \Rightarrow \left( {TOS} \right) - \left( {TOK} \right) = 5 . Συνεπώς θα έχω:

\left\{ \begin{gathered} 
  6y - xy = 10 \hfill \\ 
  {x^2} + {y^2} = 9 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{{x^2} + \frac{{100}}{{{{\left( {6 - x} \right)}^2}}} = 9} και έτσι προκύπτει:
βαθμός.png
βαθμός.png (38.71 KiB) Προβλήθηκε 251 φορές


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12627
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Διαλέξτε τον βαθμό σας

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Ιουν 10, 2021 6:59 pm

Κύριοι δεν έγινα σαφής . Το μπόνους του β' ερωτήματος είναι μόλις ( περίπου ) 0,1835 .


Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 170
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: Διαλέξτε τον βαθμό σας

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Πέμ Ιουν 10, 2021 11:12 pm

Ίσως δεν κατάλαβα κάτι ..., ἀλλά και εδώ υπάρχει δεκάρι.
Συνημμένα
rsz_deka.png
rsz_deka.png (38.36 KiB) Προβλήθηκε 202 φορές


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10553
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Διαλέξτε τον βαθμό σας

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιουν 11, 2021 9:15 am

nickchalkida έγραψε:
Πέμ Ιουν 10, 2021 11:12 pm
Ίσως δεν κατάλαβα κάτι ..., ἀλλά και εδώ υπάρχει δεκάρι.
Σωστό :coolspeak:


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10553
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Διαλέξτε τον βαθμό σας

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιουν 11, 2021 10:04 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Ιουν 10, 2021 12:54 pm
Πάνω στον κύκλο (O,3) , επιλέξτε σημεία P ,T και σχεδιάστε το τρίγωνο SPT .

Το εμβαδόν αυτού του τριγώνου ( αφού το υπολογίσετε ) , είναι ο βαθμός σας .

Επί της ακτίνας BO θεωρώ σημείο M ώστε \displaystyle OM = \frac{3}{2}\left( {\sqrt 3  - 1} \right) :lol: Στη συνέχεια

επιλέγω τα P, T ως τα σημεία τομής του κύκλου με τη κάθετη στη διάμετρο από το M.
Για το άριστα.β.png
Για το άριστα.β.png (11.75 KiB) Προβλήθηκε 146 φορές
Ο βαθμός μου είναι \boxed{(SPT) = \frac{9}{2}\sqrt {9 + 6\sqrt 3 } } Όποιος έχει αντίρρηση, μπορεί να το ελέγξει ;)


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12627
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Διαλέξτε τον βαθμό σας

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Ιουν 11, 2021 11:38 am

Αν θεωρούσαμε γνωστό ότι PT \perp SO τότε η απάντηση του Γιώργου δίνει πράγματι το μέγιστο εμβαδόν .
Διαλέξτε τον βαθμό  σας  συμπλήρωμα.png
Διαλέξτε τον βαθμό σας συμπλήρωμα.png (20.29 KiB) Προβλήθηκε 124 φορές
Ας το σκεφθούμε έτσι : Με επιλεγμένο το T άρα σταθερή την βάση ST αναζητώ το μέγιστο ύψος

το οποίο προκύπτει φέροντας τη μεσοκάθετη του TT' . Κάνοντας τον ίδιο συλλογισμό , θα έπρεπε το T

να είναι πάνω στην μεσοκάθετη του SS' , να συμπίπτει δηλαδή με το Q του σχήματος .

Λόγω λοιπόν της συμμετρίας , πρέπει όντως PT \perp SO .
Διαλέξτε τον  βαθμό  σας.png
Διαλέξτε τον βαθμό σας.png (18.32 KiB) Προβλήθηκε 124 φορές
Μπορούμε τώρα να χρησιμοποιήσουμε για το εμβαδόν την συνάρτηση :

E(\theta)=2(\dfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 3\cdot \sin\theta)+\dfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 3\cdot \sin(2\pi-2\theta) ...


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4878
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Διαλέξτε τον βαθμό σας

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Ιουν 12, 2021 9:59 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Ιουν 11, 2021 11:38 am
Ας το σκεφθούμε έτσι : Με επιλεγμένο το T άρα σταθερή την βάση ST αναζητώ το μέγιστο ύψος

το οποίο προκύπτει φέροντας τη μεσοκάθετη του TT' .
Kαλημέρα σε όλους. Πολλές φορές έχω θέσει το (αναπάντητο από εμένα) ερώτημα περί της τεκμηριώσεως της ιστορικά εφαρμοσμένης μεθόδου του "προς στιγμήν σταθερού μεγέθους". Τη χρησιμοποιούσαν π.χ. οι Ιησουΐτες, καθώς και οι έλληνες αλγεβριστές στις μεθόδους εντοπισμού ακροτάτων και (εκ του αποτελέσματος) φαίνεται να "δουλεύει" μια χαρά. Δεν έχω βρει αντιπαράδειγμα, ούτε, όμως, σαφή τεκμηρίωση. Θα χαιρόμουν να δω περισσότερες πληροφορίες για τι θέμα αυτό. Όχι άρθρα με εφαρμογές της, αλλά με την θεωρητική τεκμηρίωσή της.

Στο θέμα μας. Το προσέγγισα με δύο εργαλεία (πολικές και αλγεβρικές συντεταγμένες σημείων κύκλου). Παραθέτω ότι έκανα, χρησιμοποιώντας (λιγουλάκι) μερικές παραγώγους (ενθυμούμενος τα χρόνια τα φοιτητικά). Επειδή με την πάροδο του χρόνου η μνήμη ασθενεί, θα ήμουν υπόχρεος σε όποιον εντοπίσει κάποιο αδύνατο η λανθασμένο σημείο στην προσέγγισή μου.

10-06-2021 Γεωμετρία.png
10-06-2021 Γεωμετρία.png (58.52 KiB) Προβλήθηκε 72 φορές

1η λύση:
Παίρνουμε  \displaystyle S\left( {0,6} \right),\;P\left( {3\sigma \upsilon \nu \varphi ,3\eta \mu \varphi } \right),T\left( {3\sigma \upsilon \nu \omega ,3\eta \mu \omega } \right),\;\omega ,\varphi  \in \left[ {0,2\pi } \right) .

Έστω  \displaystyle \sigma \upsilon \nu \omega  = \sigma \upsilon \nu \varphi , οπότε  \displaystyle PT//y'y .

Τότε  \displaystyle \left( {STP} \right) = \frac{{PT \cdot d\left( {S,\;PT} \right)}}{2} = \frac{{\left| {6\sigma \upsilon \nu \varphi } \right| \cdot \left| {3\eta \mu \varphi } \right|}}{2} = \frac{9}{2}\left| {\eta \mu 2\varphi } \right| \le \frac{9}{2} με το μέγιστο όταν  \displaystyle \varphi  = \frac{\pi }{4},\omega  = \frac{{7\pi }}{4} \vee \varphi  = \frac{{3\pi }}{4},\omega  = \frac{{5\pi }}{4} (ή, βεβαίως, αντίστροφα).

Έστω  \displaystyle \sigma \upsilon \nu \omega  \ne \sigma \upsilon \nu \varphi

Είναι  \displaystyle PT = 3\sqrt {{{\left( {\sigma \upsilon \nu \varphi  - \sigma \upsilon \nu \omega } \right)}^2} + {{\left( {\eta \mu \varphi  - \eta \mu \omega } \right)}^2}} ,

 \displaystyle PT:\frac{{\eta \mu \varphi  - \eta \mu \omega }}{{\sigma \upsilon \nu \varphi  - \sigma \upsilon \nu \omega }}x - y + 3\eta \mu \varphi  - 3 \cdot \frac{{\eta \mu \varphi  - \eta \mu \omega }}{{\sigma \upsilon \nu \varphi  - \sigma \upsilon \nu \omega }} \cdot \sigma \upsilon \nu \varphi  = 0 , οπότε

 \displaystyle d\left( {S,PT} \right) = \frac{{\left| { - 6 + 3\eta \mu \varphi  - \frac{{\eta \mu \varphi  - \eta \mu \omega }}{{\sigma \upsilon \nu \varphi  - \sigma \upsilon \nu \omega }} \cdot 3\sigma \upsilon \nu \varphi } \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{\eta \mu \varphi  - \eta \mu \omega }}{{\sigma \upsilon \nu \varphi  - \sigma \upsilon \nu \omega }}} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} =

 \displaystyle  = \frac{{\left| { - 6\sigma \upsilon \nu \varphi  + 6\sigma \upsilon \nu \omega  - 3\eta \mu \varphi \sigma \upsilon \nu \omega  + 3\eta \mu \omega \sigma \upsilon \nu \varphi } \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\eta \mu \varphi  - \eta \mu \omega } \right)}^2} + {{\left( {\sigma \upsilon \nu \varphi  - \sigma \upsilon \nu \omega } \right)}^2}} }}

άρα  \displaystyle \left( {SPT} \right) = \frac{{9\left| {2\left( {\sigma \upsilon \nu \omega  - \sigma \upsilon \nu \varphi } \right) + \eta \mu \left( {\omega  - \varphi } \right)} \right|}}{2}

Έστω  \displaystyle f:\left[ {0,2\pi } \right) \to R,\;\;f\left( {\omega ,\varphi } \right) = 2\left( {\sigma \upsilon \nu \omega  - \sigma \upsilon \nu \varphi } \right) + \eta \mu \left( {\omega  - \varphi } \right)

 \displaystyle {f_\omega } = \frac{{\partial f}}{{\partial \omega }} =  - 2\eta \mu \omega  + \sigma \upsilon \nu \left( {\omega  - \varphi } \right)
 \displaystyle {f_\varphi } = \frac{{\partial f}}{{\partial \varphi }} = 2\eta \mu \varphi  - \sigma \upsilon \nu \left( {\omega  - \varphi } \right) ,

Αναγκαία συνθήκη για να έχουμε σημείο στασιμότητας είναι  \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
{f_\omega } = {\rm{0}}\\ 
\\ 
{f_\varphi } = {\rm{0}} 
\end{array} \right\} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 
2\eta \mu \omega  = \sigma \upsilon \nu \left( {\omega  - \varphi } \right)\\ 
2\eta \mu \varphi  = \sigma \upsilon \nu \left( {\omega  - \varphi } \right)\\ 
\;\;0 \le \omega ,\varphi  < 2\pi  
\end{array} \right\}

Από (1), (2), έχουμε  \displaystyle \eta \mu \omega  = \eta \mu \varphi δηλαδή  \displaystyle PT//x'x , οπότε  \displaystyle \sigma \upsilon \nu \varphi  =  - \sigma \upsilon \nu \omega .

Τότε  \displaystyle \left( {SPT} \right) = \frac{{9\left| {4\sigma \upsilon \nu \omega  - \eta \mu 2\omega } \right|}}{2}

Η συνάρτηση  \displaystyle f:\left[ {0,2\pi } \right) \to R,\;f\left( x \right) = 4\sigma \upsilon \nu x - \eta \mu 2x έχει παράγωγο

 \displaystyle f'\left( x \right) =  - 4\eta \mu x - 2\sigma \upsilon \nu 2x

 \displaystyle f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2\eta {\mu ^2}x - 2\eta \mu x - 1 = 0 \Leftrightarrow \eta \mu x = \frac{{1 - \sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \sigma \upsilon \nu x = \sqrt {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} .

Για την τιμή αυτή του x η συνάρτηση έχει μέγιστο. Οπότε  \displaystyle {\left( {SPT} \right)_{\max }} = \frac{9}{2}\sqrt {6\sqrt 3  + 9}  \cong {\rm{19}}{\rm{,8165}}


Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 170
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: Διαλέξτε τον βαθμό σας

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Σάβ Ιουν 12, 2021 1:02 pm

Επειδή (SPT)_{max} συμβαίνει όταν B\widehat{P}O = P\widehat{S}O θα είναι

\displaystyle{ 
{-x \over y} = {y \over -x+6} \rightarrow y^2 = x^2-6x 
}

Δηλαδή τα P, T ορίζονται σαν η τομή της υπερβολής y^2=x^2-6x με τον κύκλο (O,OA).
Επιλύοντας το σύστημα, παίρνω αποδεκτή λύση

\displaystyle{ 
\left. 
\begin{aligned} 
& y^2 = x^2 - 6x \cr 
& x^2 + y^2 = 9 \cr 
\end{aligned} 
\right \} \rightarrow 
\left \{ 
\begin{aligned} 
& x = {3 \over 2} (1-\sqrt{3}) \cr 
& y = {3 \over 2} \sqrt{2}\sqrt{\sqrt{3}} \cr 
\end{aligned} 
\right. 
}

Τότε βρίσκω

\displaystyle{ 
(SPT)_{max} = {9 \over 4} \sqrt{6}(\sqrt{3}+1)\sqrt{\sqrt{3}} = 19.8165126377 
}
Συνημμένα
rsz_grade.png
rsz_grade.png (107.29 KiB) Προβλήθηκε 47 φορές


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4878
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Διαλέξτε τον βαθμό σας

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Ιουν 12, 2021 1:05 pm

2η λύση (με αλγεβρικές συντεταγμένες):

Με το παραπάνω σχήμα:

Έστω  \displaystyle S\left( 0,6 \right),\ P\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right),T\left( {{x}_{2,}}{{y}_{2}} \right),\ {{x}_{1}}\ne {{x}_{2}} με  \displaystyle x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=x_{2}^{2}+y_{2}^{2}=9

Είναι  \displaystyle PT=\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}-{{y}_{1}} \right)}^{2}}} ,  \displaystyle PT:\frac{{{y}_{2}}-{{y}_{1}}}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}x-y+{{y}_{1}}-\frac{{{y}_{2}}-{{y}_{1}}}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}{{x}_{1}}=0 , οπότε  \displaystyle d\left( S,PT \right)=\frac{\left| -6+{{y}_{1}}-\frac{{{y}_{2}}-{{y}_{1}}}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}{{x}_{1}} \right|}{\sqrt{{{\left( \frac{{{y}_{2}}-{{y}_{1}}}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}} \right)}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}}=\frac{\left| 6{{x}_{1}}-6{{x}_{2}}+{{x}_{2}}{{y}_{1}}-{{x}_{1}}{{y}_{2}} \right|}{\sqrt{{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}-{{y}_{1}} \right)}^{2}}}}

άρα  \displaystyle \left( SPT \right)=\frac{\left| 6{{x}_{1}}-6{{x}_{2}}+{{x}_{2}}{{y}_{1}}-{{x}_{1}}{{y}_{2}} \right|}{2}


(Εδώ συμβαίνει ένα θαύμα. Μια φωνή από ψηλά (ή έστω από τον κάμπο της Καρδίτσας) μάς υποδεικνύει ότι το μέγιστο εμφανίζεται όταν το τρίγωνο είναι ισοσκελές). :D



Έστω  \displaystyle PT//{x}'x , οπότε  \displaystyle P\left( -{{x}_{2}},{{y}_{2}} \right),T\left( {{x}_{2,}}{{y}_{2}} \right),\ 0<{{x}_{2}}\le 3,\ -3<{{y}_{2}}<3

Τότε  \displaystyle \left( SPT \right)={{x}_{2}}\left( 6-{{y}_{2}} \right)=\sqrt{\left( 9-y_{2}^{2} \right){{\left( 6-{{y}_{2}} \right)}^{2}}},\ \ {{y}_{2}}\in \left( -3,3 \right)

Η συνάρτηση  \displaystyle f:\left( -3,3 \right)\to R,\ \ f\left( x \right)=\left( 9-{{x}^{2}} \right){{\left( 6-x \right)}^{2}} έχει παράγωγο  \displaystyle {f}'\left( x \right)=-2x{{\left( 6-x \right)}^{2}}-2\left( 6-x \right)\left( 9-{{x}^{2}} \right)=2\left( 6-x \right)\left( 2{{x}^{2}}-6x-9 \right)

Με πίνακα προσήμων βρίσκουμε ότι έχει μέγιστο για  \displaystyle x=\frac{3\left( 1-\sqrt{3} \right)}{2}

Τότε  \displaystyle {{y}_{2}}=\frac{3\left( 1-\sqrt{3} \right)}{2},{{x}_{2}}=\sqrt{\frac{9\sqrt{3}}{2}}

και  \displaystyle {{\left( SPT \right)}_{\max }}=\sqrt{\frac{9\sqrt{3}}{2}}\left( \frac{9+3\sqrt{3}}{2} \right)=\frac{9}{2}\sqrt{6\sqrt{3}+9}\cong \text{19}\text{,8165}

edit: Ταυτόχρονα με αυτήν την ανάρτηση βλέπω και τη γεωμετρική ανάρτηση του Νίκου. Τροφή για σκέψη και μελέτη!


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης