Ολοκληρωμένο ολοκλήρωμα

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12328
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ολοκληρωμένο ολοκλήρωμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Φεβ 23, 2021 2:51 pm

Υπολογίστε τον θετικό αριθμό k , ώστε : \displaystyle \int_{2k}^{20k}\frac{xdx}{\sqrt{kx+1}}=57k



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13158
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρωμένο ολοκλήρωμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Φεβ 23, 2021 3:59 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Φεβ 23, 2021 2:51 pm
Υπολογίστε τον θετικό αριθμό k , ώστε : \displaystyle \int_{2k}^{20k}\frac{xdx}{\sqrt{kx+1}}=57k
Θέτοντας \sqrt {kx+1}=y, το αόριστο ολοκλήρωμα γίνεται \displaystyle{\dfrac {2}{k^2} \int (y^2-1)dy} (απλό τώρα). Οπότε το δοθέν ισούται με μία μεγάλη παράσταση που δεν αξίζει το μελάνι της να την γράψω. Από ότι βλέπω, εκτός αν υπάρχει καλύτερος τρόπος, η άσκηση έχει περισσότερες επίπονες πράξεις από την αξία της.

Το γυρίζω σε Λογισμικό. Δίνει \displaystyle{ \dfrac {4}{3k^2} \left (10\sqrt {20k^2+1}k^2-\sqrt{2k^2+1}k^2-\sqrt {20k^2+1}+\sqrt{2k^2+1}\right )}.

H δε εξίσωση 57 k = το προηγούμενο έχει λύση, πάντα κατά το Λογισμικό, k=2.

Γενικό σχόλιο: Πέσαμε σε άσκηση ακριβώς του τύπου που πρέπει να αποφεύγουμε στα Μαθηματικά. Μήπως εντάσσεται στα Διασκεδαστικά Μαθηματικά; Κάθε άλλο. Κατατρομάζει τους μαθητές μας.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10181
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ολοκληρωμένο ολοκλήρωμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Φεβ 23, 2021 4:41 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Φεβ 23, 2021 2:51 pm
Υπολογίστε τον θετικό αριθμό k , ώστε : \displaystyle \int_{2k}^{20k}\frac{xdx}{\sqrt{kx+1}}=57k
Με τον μετασχηματισμό που γράφει ο Μιχάλης εύκολα βρίσκω ότι μία παράγουσα της συνάρτησης \displaystyle f(x) = \frac{x}{{\sqrt {kx + 1} }}

είναι η \displaystyle F(x) = \frac{{2(kx - 2)\sqrt {kx + 1} }}{{3{k^2}}}. Στη συνέχεια η λύση της εξίσωσης F(20k)-F(2k)=57k δίνει το

αποτέλεσμα. Αν δεν υπάρχει κάποιο τέχνασμα, δεν θα έμπαινα στον κόπο να λύσω μία τέτοια εξίσωση.


Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 124
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: Ολοκληρωμένο ολοκλήρωμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Τετ Φεβ 24, 2021 1:02 pm

Παρατήρηση:
Θεωρώντας τις υπόριζες ποσότητες στον μαθηματικό τύπο που έδωσε ο Μιχάλης
και αναζητώντας ακέραιες λύσεις για τις :

\displaystyle{ 
\begin{aligned} 
& \bullet\ 2k^2 + 1 = m^2 \cr 
&  \bullet\ 20k^2 + 1 = m^2 \cr 
& \cdots \cr 
&  \bullet\ ak^2 + 1 = m^2 \cr 
\end{aligned} 
}

ή ισοδύναμα για την m^2-ak^2=1, οδηγούμαστε
στην Pell's equation

\displaystyle{ 
x^2-ny^2 = 1 
}


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης