Κάντε ότι μπορείτε !

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10644
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Κάντε ότι μπορείτε !

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Αύγ 07, 2019 7:58 am

Να λυθεί η εξίσωση : (x-1)^{x-2}=(x+3)^{x-3}



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2453
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Κάντε ότι μπορείτε !

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Αύγ 08, 2019 2:25 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Αύγ 07, 2019 7:58 am
Να λυθεί η εξίσωση : (x-1)^{x-2}=(x+3)^{x-3}
Αν θέσουμε f(x)=(x-2)\ln (x-1)-(x-3)\ln (x+3)

για x>1 η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την f(x)=0

Γράφω τα συμπεράσματα γιατί οι πράξεις είναι πολλές ,έτσι δεν υπάρχει
καμία διασκέδαση να της γράψει κάποιος.
1)Εχει δύο ρίζες εκ των οποίων η μία ειναι το 5
2)εχει ακριβώς ενα σημείο καμπής.
κλπ
Γενικά μπορούμε να την μελετήσουμε.

Δεν βάζεις την γραφική παράσταση της Θανάση;

Βέβαια αν η αρχική εξίσωση έχει ρίζα με x<1 αυτή θα είναι ρητός.
Αφήνω να διασκεδάσει κάποιος άλλος με αυτό το θέμα.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8144
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κάντε ότι μπορείτε !

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Αύγ 08, 2019 4:37 pm

Function.png
Function.png (10.34 KiB) Προβλήθηκε 193 φορές
Οι ρίζες είναι x=5, x\simeq 36,9252.


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Δημοσιεύσεις: 8
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 10, 2019 9:20 am

Re: Κάντε ότι μπορείτε !

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ » Κυρ Αύγ 11, 2019 11:06 pm


Χαίρεται!Επειδή ενδιαφέρομαι ιδιαίτερα για αυτό το θέμα ,θα ήθελα να προσθέσω τη λύση μου.Ακόμη,λόγω του ότι δεν ήξερα ότι η εξίσωση πρέπει να λυθεί στο \mathbb{R},εγώ την έλυσα στο \mathbb{Z}.Τώρα η προσσέγγισή μου.

Περιορισμοί:

x-1\neq0\Leftrightarrow x\neq1 , x+3\neq0\Leftrightarrow x\neq-3
x-2\neq0\Leftrightarrow x\neq2 ,x-3\neq0\Leftrightarrow x\neq3

Υποθέτουμε ότι x-3\geq 0\Leftrightarrow x\geq 3. Έχουμε:

(x-1)^{x-2}=(x+3)^{x-3}

Λήμμα:

Αν a^{x}=b^{y} ,τότε υπάρχουν z,k,l\epsilon\mathbb{N} ώστε: a=z^{k}, b=z^{l} .
Οπότε είναι:

(x-1)^{x-2}=(x+3)^{x-3}\Rightarrow  x-1=z^{k}, x+3=z^{l} , z,k,l\epsilon\mathbb{N}

Με αφαίρεση των σχέσεων κατά μέλη προκύπτει:

4=x+3-(x-1)=z^{l}-z^{k}=z^{k}(z^{l-k}-1)\Rightarrow z^{k}|4\Rightarrow (z,k)=(1,t),t\epsilon\mathbb{Z}, (\pm 2,2), (4,1)

Για (z,k)=(1,t), έχουμε:

1^{l-t}-1=4\Leftrightarrow 1^{l-t}=5\Leftrightarrow 1=5 , άτοπο.

Για (z,k)=(2,2) έχουμε:

2^{l-2}-1=1\Leftrightarrow 2^{l-2}=2\Leftrightarrow l-2=1\Leftrightarrow l=3

Οπότε : x=2^{3}-1=8-3=5\Rightarrow x=5

Για (z,k)=(-2,2) έχουμε:

(-2)^{l-2}-1=1\Leftrightarrow (-2)^{l-2}=2

Αν l\equiv1(mod2) ,τότε καταλήγουμε σε άτοπο.
Αν l\equiv0(mod2),τότε:

2^{l-2}=2 και καταλήγουμε ξανά στη ρίζα x=5.

Για (z,k)=(4,1) , έχουμε:

4^{l-1}-1=1\Leftrightarrow 4^{l-1}=2\Leftrightarrow 2^{2l-2}=2\Leftrightarrow 2l-2=1\Leftrightarrow l=\frac{3}{2} ,άτοπο , αφού l \epsilon \mathbb{N}.

Έστω τώρα ότι : x-3<0 και x-2\geq0 . Άρα x=2.Όμως καταλήξαμε σε αντίφαση,δίοτι από τους περιορισμούς ισχύει ότι: x\neq2.

Τέλος υποθέτουμε ότι x-2<0, x-3<0\Rightarrow x<2\Rightarrow x\leq1 (ισχύει η συνεπαγωγή: m<n\Rightarrow m\leq n-1).
Οπότε είναι:

\frac{1}{(x-1)^{-(x-2)}}=\frac{1}{(x+3)^{-(x-3)}}\Leftrightarrow \frac{1}{(x-1)^{2-x}}=\frac{1}{(x+3)^{3-x}}\Leftrightarrow (x-1)^{2-x}=(x+3)^{3-x}.

Άρα σύμφωνα με το λήμμα υπάρχουν d,e,f\epsilon\mathbb{N} , έτσι ώστε : (x-1)=d^{e}, (x+3)=d^{f}.

Με αφαίρεση των σχέσεων κατά μέλη προκύπτει:

4=x+3-(x-1)=d^{f}-d^{e}=d^{e}(d^{f-e}-1)\Rightarrow d^{e}|4\Rightarrow (d,e)=(1,g)(g\epsilon\mathbb{Z}),(\pm 2,2),(4,1) και αναλλοίωντας όλες τις πειπτώσεις καταλήγουμε πάλι στη λύση x=5.
Επομένως μοναδική λύση της εξίσωσης για x\epsilon\mathbb{Z} είναι η x=5.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης