Θεώρημα Poncelet (Ιστορικό πλαίσιο)

[Al.Koutsouridis]

Με αφορμή τις σκέψεις εδώ. Ας δούμε το ιστορικό πλαίσιο του θεωρήματος Pancelet που είναι ενδιαφέρον και θυμίζει αυτό του Galois. Πηγή το περιοδικό κβάντ τέυχος 5-6, 2014, Wikipedia στα αντίστοιχα λήμματα.

Το Νοέμβριο του 1812 τα ρωσικά στρατεύματα υπό τις οδηγίες του Κουτούζοβ καταδιώξαν τα απομεινάρια της Μεγάλης Στρατιάς που είχαν παραμείνει δυτικά του δρόμου του Σμολένσκ . Οι αποφασιστικές μάχες ξεκίνησαν στις 15 Νοεμβρίου κοντά στην κωμόπολη Κράσνιϊ. Για τέσσερις μέρες οι Γάλλοι είχαν τρομερές απώλειες. Ο Στρατός του στρατηγού Ney μαζί με το σώμα του πρίγκιπα Beauharnais αποδεκατίστηκε. Ο ίδιος ο Ναπολέων από θαύμα γλίτωσε την περικύκλωση και οπισθοχώρησε με την φρουρά του αφήνοντας να πεθάνουν στο πεδίο της μάχης μερικές χιλιάδες τραυματιών. Το βράδυ της 18 Νοεμβρίου οι περιπολίες , που επιτηρούσαν το πεδίο της μάχης της προηγούμενης μέρας, πρόσεξαν μεταξύ των άψυχων σωμάτων έναν ακίνητο Γάλλο με στολή υπολοχαγού του μηχανικού. Δίπλα του κείτοταν ένα νεκρό άλογο, ο υπολοχαγός ακόμα ανέπνεε. Τον περισυνέλεξαν και τον μετέφεραν στο στρατόπεδο των ρωσικών δυνάμεων. Ήταν ο 24 χρόνος μηχανικός του στρατού Jean Victor Poncelet.

Δυο χρόνια πριν τον πόλεμο, το 1810 ο ταλαντούχος νέος είχε αποφοιτήσει από την μεγάλου κύρους École Polytechnique όπου είχε δασκάλους τους Monge, Carnot, Ampere, Brianchon. Του προφέρθηκε λαμπρό επιστημονικό μέλλον αλλά ο Jean Victor προτίμησε το επάγγελμα του στρατιωτικού μηχανικού. Επέστρεψε την γενέτειρα του το Μετς όπου και εισήχθη στην σχολή μηχανικών. Με το πέρας των σπουδών του το 1812 κατατάχθηκε στο ενεργό κομμάτι του στρατού και συμπεριλήφθει στην εκστρατεία εναντίον της Ρωσίας.
Μετά την μάχη του Κρασνιϊ ο Pancelete προέκυψε να είναι ένας από τους 20 και πλέον χιλιάδες Γάλλους αιχμαλώτους πολέμου. Αντιμετώπισε τις εξοντωντικές κακουχίες κατά μήκος χιλίων μιλίων (4 μήνες στους αφιλόξενους δρόμους του ρωσικού χειμώνα) και το Μάρτιο του 1813 το κομβοϊ των αιχμαλώτων έφτασε στο Σαράτοβ. Επαρχιακή πόλη στις ακτές του Βόλγα. Λόγω μερικών ευνοϊκών ρυθμίσεων για τους ξένους αιχμαλώτους δεν χρησιμοποιήθηκε σε καταναγκαστικά έργα. Αν εξαιρέσει κανείς την δημιουργία του πάρκου από βελανιδιές στο εξοχικό του κυβερνήτη Παντσουλίτσεβ. Μερικές από τις βελανιδιές αυτού του άλσους υπάρχουν ακόμα στο πάρκο πολιτισμού και αναψυχής του Σαράτοβ. Ίσως κάποια από αυτές να την φύτεψε ο Pancelet!

Ο νεαρός μηχανικός ασχολήθηκε ενεργά με την επιστήμη. Αρχικά επαναλαμβάνει από μνήμης το πανεπιστημιακό πρόγραμμα μαθημάτων (Στο Σαράτοβ δεν είχε πρόσβαση σε βιβλιογραφία, ούτε πανεπιστήμιο υπήρχε τότε ούτε βιβλιοθήκη). Ύστερα ξεκινάει την (ατομική) έρευνα. Στους 14 μήνες της αιχμαλωσίας του ο Poncelet γράφει αρκετές θεμελιώδης εργασίες , στις οποίες έθεσε τις βάσεις της προβολικής γεωμετρίας (όρος δικός του) δυναμική των μηχανών κ.α. Ένα από τα αποτελέσματα των ερευνών ήταν και το αξιοσημείωτο θεώρημα Poncelet

Θεώρημα: (Poncelet 1814). Στο επίπεδο δίνονται δυο κύκλοι. Αν υπάρχει πολύγωνο εγγεγραμμένο στον ένα κύκλο και όλες οι πλευρές του (ή οι προεκτάσεις τους) εφάπτονται του άλλου, τότε τέτοια πολύγωνα υπάρχουν άπειρα και οποιοδήποτε σημείο του πρώτου κύκλου μπορεί να είναι κορυφή του.