Ερώτηση για συμμετρικά πολυώνυμα

Συντονιστής: spyros

ksofsa
Δημοσιεύσεις: 462
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm

Ερώτηση για συμμετρικά πολυώνυμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Κυρ Ιούλ 07, 2024 9:27 am

Καλημέρα.

Είναι γνωστό ότι κάθε συμμετρικό πολυώνυμο n μεταβλητών μπορεί να γραφεί ως έκφραση των n θεμελιωδών συμμετρικών πολυωνύμων (αθροισμάτων Vieta).

Έχουμε n μεταβλητές x_{1},x_{2},...,x_{n} και θεωρούμε το γινόμενο των \binom{n}{k} αθροισμάτων k διαφορετικών μεταβλητών.Π.χ. αν (n,k)=(3,2), τότε θεωρούμε το (x_{1}+x_{2})(x_{2}+x_{3})(x_{3}+x_{1}).

Για το πολυώνυμο που προκύπτει υπάρχει τύπος/αλγόριθμος για την έκφραση του ως πολυώνυμο των αθροισμάτων Vieta;

Π.χ. για το προηγούμενο παράδειγμα, ο τύπος/αλγόριθμος πρέπει να δίνει (x_{1}+x_{2})(x_{2}+x_{3})(x_{3}+x_{1})=(x_{1}+x_{2}+x_{3})(x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1})-x_{1}x_{2}x_{3} .

Ευχαριστώ εκ των πρότερων για όποια πληροφορία δοθεί. Καλό θα είναι να δοθεί και η αντίστοιχη παραπομπή.


Κώστας

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 663
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Ερώτηση για συμμετρικά πολυώνυμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Κυρ Ιούλ 07, 2024 12:49 pm

ksofsa έγραψε:
Κυρ Ιούλ 07, 2024 9:27 am
Καλημέρα.

Είναι γνωστό ότι κάθε συμμετρικό πολυώνυμο n μεταβλητών μπορεί να γραφεί ως έκφραση των n θεμελιωδών συμμετρικών πολυωνύμων (αθροισμάτων Vieta).

Έχουμε n μεταβλητές x_{1},x_{2},...,x_{n} και θεωρούμε το γινόμενο των \binom{n}{k} αθροισμάτων k διαφορετικών μεταβλητών.Π.χ. αν (n,k)=(3,2), τότε θεωρούμε το (x_{1}+x_{2})(x_{2}+x_{3})(x_{3}+x_{1}).

Για το πολυώνυμο που προκύπτει υπάρχει τύπος/αλγόριθμος για την έκφραση του ως πολυώνυμο των αθροισμάτων Vieta;

Π.χ. για το προηγούμενο παράδειγμα, ο τύπος/αλγόριθμος πρέπει να δίνει (x_{1}+x_{2})(x_{2}+x_{3})(x_{3}+x_{1})=(x_{1}+x_{2}+x_{3})(x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1})-x_{1}x_{2}x_{3} .

Ευχαριστώ εκ των πρότερων για όποια πληροφορία δοθεί. Καλό θα είναι να δοθεί και η αντίστοιχη παραπομπή.
Νομίζω ότι το συγκεκριμένο θεώρημα που αναφέρεσαι εξασφαλίζει μόνο την ύπαρξη.
Από διαίσθηση και μόνο θα έλεγα ότι θα είναι πολύ δύσκολο να υπάρχει τέτοιος αλγοριθμος/διαδικασία.
Θα το ψάξω παραπάνω και θα επανέλθω.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 663
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Ερώτηση για συμμετρικά πολυώνυμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Κυρ Ιούλ 07, 2024 12:56 pm

Τελικά νομίζω ότι η διαίσθηση μου αυτή είναι λανθασμένη.
Σε παραπέμπω στην απόδειξη του συγκεκριμένου θεωρήματος στο Βιβλίο Algebraic Number Theory and Fermat's last theorem των Stewart Tall σελίδα 25.
Η απόδειξη χρησιμοποιεί έναν συγκεκριμένο αλγόριθμο που νομίζω είναι αυτό που ψάχνεις.
Χρησιμοποιεί λεξικό γραφική διάταξη.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3607
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ερώτηση για συμμετρικά πολυώνυμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Ιούλ 07, 2024 1:34 pm



ksofsa
Δημοσιεύσεις: 462
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm

Re: Ερώτηση για συμμετρικά πολυώνυμα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Κυρ Ιούλ 07, 2024 3:48 pm

Σάς ευχαριστώ για τις παραπομπές. Να είστε καλά.


Κώστας
Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4471
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Ερώτηση για συμμετρικά πολυώνυμα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Κυρ Ιούλ 07, 2024 10:48 pm

Ίσως είναι χρήσιμα όσα περιέχονται στην παρ. 52, σελ. 312 του κλασικού βιβλίου
A. Kurosh Higher Algebra, MIR, 1980
που μπορεί να μεταφορτωθεί ελεύθερα από τον σύνδεσμο
https://mirtitles.org/2012/12/25/higher-algebra-kurosh/


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
ksofsa
Δημοσιεύσεις: 462
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm

Re: Ερώτηση για συμμετρικά πολυώνυμα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Δευ Ιούλ 08, 2024 8:18 am

Καλημέρα.

Σας ευχαριστώ για την παραπομπή. Πολύ ενδιαφέρον και καλογραμμένο φαίνεται να είναι και όλο το βιβλίο.


Κώστας
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης