Ερώτηση για αρρητότητα συγκεκριμένων αριθμών

ksofsa · #1

Καλησπέρα.

Είναι γνωστό ότι η σταθερά $\pi$ και οι αριθμοί $lnk, k\epsilon \mathbb{N}/\left \{ 0,1 \right \}$ είναι άρρητοι και, μάλιστα, υπερβατικοί. Γνωρίζουμε αν είναι υπερβατικοί ή, τουλάχιστον, άρρητοι οι αριθμοί $\frac{\pi }{lnk}$ για τις διάφορες τιμές του φυσικού και μεγαλύτερου της μονάδας

;

#2

ksofsa έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 04, 2023 7:22 pm
Καλησπέρα.

Είναι γνωστό ότι η σταθερά $\pi$ και οι αριθμοί $lnk, k\epsilon \mathbb{N}/\left \{ 0,1 \right \}$ είναι άρρητοι και, μάλιστα, υπερβατικοί. Γνωρίζουμε αν είναι υπερβατικοί ή, τουλάχιστον, άρρητοι οι αριθμοί $\frac{\pi }{lnk}$ για τις διάφορες τιμές του φυσικού και μεγαλύτερου της μονάδας ;

Οι αριθμοί σίγουρα είναι άρρητοι. Έπεται από το Θεώρημα Gelfond-Schneider, βλέπε εδώ. Πράγματι αν ήταν ρητός τότε

$\dfrac{\pi }{lnk} = \dfrac{p}{q}$ , άρα $k^p=e^{q\pi}$ . Άτοπο γιατί από το Θεώρημα Gelfond-Schneider το δεξί μέλος είναι υπερβατικός, οπότε δεν ισούται με φυσικό αριθμό.

Θα μάντευα ότι οι αριθμοί είναι υπερβατικοί, και ίσως απαντά το ίδιο το παραπάνω εξαιρετικό Θεώρημα, αλλά δεν το έψαξα.

stranger · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 04, 2023 11:54 pm

ksofsa έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 04, 2023 7:22 pm
Καλησπέρα.

Είναι γνωστό ότι η σταθερά $\pi$ και οι αριθμοί $lnk, k\epsilon \mathbb{N}/\left \{ 0,1 \right \}$ είναι άρρητοι και, μάλιστα, υπερβατικοί. Γνωρίζουμε αν είναι υπερβατικοί ή, τουλάχιστον, άρρητοι οι αριθμοί $\frac{\pi }{lnk}$ για τις διάφορες τιμές του φυσικού και μεγαλύτερου της μονάδας ;
Οι αριθμοί σίγουρα είναι άρρητοι. Έπεται από το Θεώρημα Gelfond-Schneider, βλέπε εδώ. Πράγματι αν ήταν ρητός τότε

$\dfrac{\pi }{lnk} = \dfrac{p}{q}$ , άρα $k^p=e^{q\pi}$ . Άτοπο γιατί από το Θεώρημα Gelfond-Schneider το δεξί μέλος είναι υπερβατικός, οπότε δεν ισούται με φυσικό αριθμό.

Θα μάντευα ότι οι αριθμοί είναι υπερβατικοί, και ίσως απαντά το ίδιο το παραπάνω εξαιρετικό Θεώρημα, αλλά δεν το έψαξα.

Όντως, πολύ όμορφο και βαθύ θεώρημα.
Η σημασία του εγκειταί στη γενικότητά του.

ksofsa · #4

Ευχαριστώ για τις απαντήσεις/σχόλια!

Νομίζω ότι το ίδιο αυτό βαθύ και σημαντικό θεώρημα πράγματι δίνει ότι οι αριθμοί αυτοί είναι και υπερβατικοί.

Έστω ότι ο αριθμός $\dfrac{\pi }{lnk}$ είναι αλγεβρικός. Τότε θα είναι αλγεβρικός και ο αντίστροφος $\dfrac{lnk}{\pi }$ (οι αλγεβρικοί αριθμοί συγκροτούν σώμα).

Ισχύουν:

$e^{-lnk}= \dfrac{1}{k}$ (ρητός)

και

$e^{-lnk}=(e^{\pi i})^{\frac{lnk}{\pi }i}=(-1)^{\frac{lnk}{\pi }i}$ .

Ο τελευταίος αριθμός, σύμφωνα με το θεώρημα Gelfond-Schneider, θα έπρεπε να είναι υπερβατικός (διότι $-1,\dfrac{lnk}{\pi }i$ αλγεβρικοί και $\dfrac{lnk}{\pi }i$ άρρητος).Αυτό , όμως, είναι άτοπο, διότι από την προηγούμενη σχέση ο εν λόγω αριθμός είναι ρητός.

Άρα, ο αριθμός $\dfrac{\pi }{lnk}$ είναι υπερβατικός.

#5

ksofsa έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 05, 2023 5:17 am
Άρα, ο αριθμός $\dfrac{\pi }{lnk}$ είναι υπερβατικός.

Κώστα, μας έκανες ένα ωραιόατο δώρο τόσο για το αποτέλεσμα όσο και για την απόδειξη.

stranger · #6

Στο ίδιο πνεύμα υπάρχει ένα θεώρημα για μια ιδιότητα των αρρήτων αριθμών, που μια απόδειξή του μπορεί να γίνει με ανάλυση Fourier και λέει το εξής:
Αν ο αριθμός $\gamma$ είναι άρρητος τότε αν πάρεις την ακολουθία $<n \gamma>$ ( <.>

είναι το fractional part,δηλαδή <x>=x-[x]

) τότε είναι ισοκατανεμημένη στο διάστημα [0,1)

, με την έννοια ότι:
για κάθε $(a,b) \subseteq [0,1)$ ισχύει ότι:
$\lim_{N \rightarrow \infty} \frac{|\{1 \leq n \leq N : <n \gamma> \in (a,b)\}|}{N} = b-a$ .

Είναι πιστεύω μια όμορφη ιδιότητα των αρρήτων αριθμών.

Ερώτηση για αρρητότητα συγκεκριμένων αριθμών

Ερώτηση για αρρητότητα συγκεκριμένων αριθμών

Re: Ερώτηση για αρρητότητα συγκεκριμένων αριθμών

Re: Ερώτηση για αρρητότητα συγκεκριμένων αριθμών

Re: Ερώτηση για αρρητότητα συγκεκριμένων αριθμών

Re: Ερώτηση για αρρητότητα συγκεκριμένων αριθμών

Re: Ερώτηση για αρρητότητα συγκεκριμένων αριθμών

Μέλη σε σύνδεση