Ερώτηση-4.

Φανης Θεοφανιδης · #1

Καλημέρα.

Ψάχνω την ακριβή τιμή της εφαπτομένης των $20^{0}$ .

KARKAR · #2

Λύσε την εξίσωση : $\dfrac{3t-t^3}{1-3t^2}=\sqrt{3}$

Tolaso J Kos · #3

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 17, 2021 12:16 pm
Καλημέρα.

Ψάχνω την ακριβή τιμή της εφαπτομένης των $20^{0}$ .

Υπάρχει ;; Νομίζω μόνο αριθμητικά!

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Φανης Θεοφανιδης · #4

$t_{1}+t_{2}+t_{3}=3\sqrt{3}$ .
$t_{1}\cdot t_{2}\cdot t_{3}=-\sqrt{3}$ .
Όπου $t_{1}, t_{2}, t_{3}$ οι ρίζες της εν λόγω εξίσωσης.

#5

Όχι ο τρόπος δεν είναι αυτός που αναφέρει ο Θανάσης γιατί η τριτοβάθμια που εμφανίζεται έχει μεν πραγματικές ρίζες αλλά αν πας να τις γράψεις είναι της μορφής $\sqrt [3]{a+ib} + \sqrt [3]{a-ib}$ . Αποδεικνύεται με Θεωρία Galois ότι αυτά τα $i=\sqrt{-1}$ δεν μπορούμε να τα διώξουμε αντικαθιστώντας την παράσταση με άλλη ίση της αλγεβρική παράσταση (δηλαδή με ριζικά και λοιπά).

Το θέμα της ακριβούς αλγεβρικής παράστασης των τριγωνομετρικών αριθμών ακέραιου αριθμού μοιρών έχει τεράστια ιστορία που ξεκινά στην αρχαιότητα. Η παλαιότερη πηγή μας είναι η Μεγίστη Σύνταξις του Πτολεμαίου περί το 130 μ.Χ. Πρίν από αυτόν είχαμε εργασίες του Μενελάου περί το 50 π,Χ. και του Ιππάρχου το 100 π.Χ., δυστυχώς χαμένες σήμερα.

Οι μόνες γωνίες που μπορούμε να εκφράσουμε με αλγεβρική παράσταση (χωρίς να βλέπουμε το $\sqrt {-1}$ ) είναι τα πολλαπλάσια του

. Με άλλα λόγια δεν μπορούμε για το $\sin 1^o$ .

Τα είχα κάποτε γράψει αυτά σε ένα άρθρο μου πριν από άπειρα χρόνια, που δημοσιεύτηκε είτε στον Ευκλείδη Γ είτε στην Μαθηματική Επιθεώρηση (δεν θυμάμαι που) της ΕΜΕ. Αν το εντοπίσω, θα παραπέμψω αλλά για την ώρα δεν έχω ηλεκτρονικό αντίτυπο.

Αξίζει να ψάξεις στο Google φράσεις όπως

exact value of sines and cosines

#6

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 17, 2021 12:44 pm

Αν υπήρχε τότε θα μπορούσαμε να τριχοτομήσουμε τη γωνία των . ...

Δεν στέκει αυτό. Μη μπλέκουμε το ευθύ με το αντίστροφο. Δεν μπορούμε να κατασκευάσουμε όλες τις αλγεβρικές παραστάσεις, για παράδειγμα δεν μπορούμε την $\sqrt [3] 2$ . Δηλαδή δεν σημαίνει ότι τα μη κατασκευάσιμα είναι αυτόματα οι αριθμοί που δεν προκύπτουν από αλγεβρική παράσταση. Έδωσα παράδειγμα.

Φανης Θεοφανιδης · #7

Ορίστε και το πρόβλημα απ΄το οποίο προέκυψε η ερώτησή μου.

: 77.png (12.03 KiB) Προβλήθηκε 778 φορές

Να βρεθεί η ακτίνα (ή οι ακτίνες) του παραπάνω κύκλου, κέντρου

.

#8

Στο αρχικό ερώτημα, αν αποπειραθούμε π.χ να βρούμε το $\displaystyle \cos 20^\circ,$ θα καταλήξουμε στην εξίσωση $\displaystyle {x^3} - \frac{3}{4}x - \frac{1}{8} = 0,$ που είναι της μορφής $\displaystyle {x^3} + px + q = 0$ (απλούστερη από την εξίσωση για την εφαπτομένη).

Ο τύπος Tartaglia-Cardano δίνει: $\displaystyle x = \sqrt[3]{{ - \frac{q}{2} + \sqrt {{{\left( {\frac{q}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{p}{3}} \right)}^3}} }} + \sqrt[3]{{ - \frac{q}{2} - \sqrt {{{\left( {\frac{q}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{p}{3}} \right)}^3}} }}$

Με αντικατάσταση τώρα, βρίσκουμε ότι εμπλέκεται αρνητικό υπόρριζο της τετραγωνικής ρίζας (συγκεκριμένα $\displaystyle \sqrt { - 3}$ ), όπως ακριβώς το έγραψε ο Μιχάλης. Εκεί σταματάμε.

Ερώτηση-4.

Ερώτηση-4.

Re: Ερώτηση-4.

Re: Ερώτηση-4.

Re: Ερώτηση-4.

Re: Ερώτηση-4.

Re: Ερώτηση-4.

Re: Ερώτηση-4.

Re: Ερώτηση-4.

Μέλη σε σύνδεση