Νυχτερινές Ανησυχίες
Συντονιστής: spyros
-
- Δημοσιεύσεις: 789
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm
Νυχτερινές Ανησυχίες
Λύνοντας κάποια άσκηση έφτασα στο παρακάτω ψάχνοντας το με φυσικούς. Υπάρχει τρόπος να δείξουμε ότι και είναι οι μοναδικές λύσεις;
Ανεβάζω αυτό το ποστ γιατι προφανώς ΔΕΝ έχω λύση και δεν ξέρω και αν υπάρχει!
και
Ανεβάζω αυτό το ποστ γιατι προφανώς ΔΕΝ έχω λύση και δεν ξέρω και αν υπάρχει!
και
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Νυχτερινές Ανησυχίες
Νίκο, πρώτα απ' όλα ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ για την γιορτή σου.Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑Κυρ Δεκ 06, 2020 12:26 amΛύνοντας κάποια άσκηση έφτασα στο παρακάτω ψάχνοντας το με φυσικούς. Υπάρχει τρόπος να δείξουμε ότι και είναι οι μοναδικές λύσεις;
Ανεβάζω αυτό το ποστ γιατι προφανώς ΔΕΝ έχω λύση και δεν ξέρω και αν υπάρχει!
και
Ως δώρο σου κάνω λύση του παραπάνω. Δίνω μόνο περίληψη γιατί η πληκτρολόγιση είναι επίπονη, αλλά και για να χαρείς ο ίδιος την επεξεργασία των κενών.
Δύο λύσεις είναι αυτές που αναφέρεις, δηλαδή (με ) και (με ). Θα δούμε ότι δεν υπάρχουν άλλες.
Εύκολα βλέπουμε από το ανάπτυγμα διωνύμου ότι όλοι οι όροι είναι φυσικοί αριθμοί (άλλωστε έπεται και με άλλο τρόπο από τα παρακάτω).
Επίσης εύκολα βλέπουμε (άλλωστε έπεται και από τα παρακάτω) ότι η πρώτη ακολουθία έχει μόνο περιττούς όρους, ενώ η δεύτερη εναλλάξ άρτιους περιττούς. Οπότε στην δεύτερη μπορούμε να πετάξουμε τους μισούς όρους. Κρατάμε μόνο τους εκθέτες . Οριζουμε τώρα
, με αρχικούς τους και
με αρχικούς (ίδιους με πριν)
Οι αρχικοί όροι είναι και αντίστοιχα. Δεν θα το χρησιμοποιήσω, αλλά έπεται από το παρακάτω.
Εύκολα βλέπουμε ότι ισχύει (εδώ είναι το κλειδί)
. Υπόδειξη: Αρχίζουμε από τον τον οποίο πολλαπλασιάζουμε επί τον (ακέραιο) . Αυτό που βγαίνει το γράφουμε συναρτήσει των . Από αυτήν βγαίνουν όλα όσα ανέφερα παραπάνω ως "εύκολα".
Επίσης
. Υπόδειξη: Αρχίζουμε από τον τον οποίο πολλαπλασιάζουμε επί τον (ακέραιο)
Έχουμε να δείξουμε ότι, πέρα από τους δύο αρχικούς, οι δεν είναι ποτέ ίσοι. Μετά από σπάσιμο της κεφαλής, eureka:
Εργαζόμαστε molulo . Η μεν πρώτη ακολουθία (με χρήση του αναδρομικού) είναι η (σταθερή από τον τρίτο όρο) ενώ η δεύτερη είναι . Δηλαδή ποτέ ξανά ίσα, ούτε καν modulo .
-
- Δημοσιεύσεις: 789
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm
Re: Νυχτερινές Ανησυχίες
Κύριε Μιχάλη ευχαριστώ πολύ για τις ευχές αλλά και για το "δώρο" σας!!! Για την ιστορία έφτασα σε αυτό το σημείο λύνοντας το τελευταίο και ίσως το πιο δύσκολο θέμα τις Κορέας για τον τελευταίο διαγωνισμό επιλογής λυκείων τους! Η λύσεις που κυκλοφορούν είναι ψιλό εξωπραγματικές για μαθητές τουλάχιστον για Ελλάδα και μάλλον αυτό το θέμα είχε στόχο να ξεχωρίσει τους top μαθητές της χώρας τους! Σας ευχαριστώ λοιπόν και θα φροντίσω να αναφέρω στους μαθητές μου ότι η λύση τελείωσε από τον κύριο Λάμπρου! Χίλια ευχαριστώ!
-
- Δημοσιεύσεις: 789
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm
Re: Νυχτερινές Ανησυχίες
Κύριε Μιχάλη ξέχασα επίσης να αναφέρω ότι το n είναι ακέραιος λόγω διωνυμικου αναπτύγματος αλλά και επειδή έχουν προκύψει από εξισώσεις Pell!!
Υ. Γ: η άσκηση σας από Ρουμανία λύθηκε στις 1 το βράδυ από 3 μαθητές με 2 διαφορετικούς τρόπους. Τα χαιρετίσματα μας από Καλαμάτα!
Υ. Γ: η άσκηση σας από Ρουμανία λύθηκε στις 1 το βράδυ από 3 μαθητές με 2 διαφορετικούς τρόπους. Τα χαιρετίσματα μας από Καλαμάτα!
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Νυχτερινές Ανησυχίες
Νίκο, με τρώει η περιέργεια να δω άλλες λύσεις.Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑Κυρ Δεκ 06, 2020 1:45 pmΟι λύσεις που κυκλοφορούν είναι ψιλό εξωπραγματικές για μαθητές τουλάχιστον για Ελλάδα,,,
Οι εσωτερικές συνάφεις των Μαθηματικών είναι απίστευτες.Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑Κυρ Δεκ 06, 2020 2:02 pmξέχασα επίσης να αναφέρω ότι το n είναι ακέραιος λόγω διωνυμικου αναπτύγματος αλλά και επειδή έχουν προκύψει από εξισώσεις Pell!!
Για όφελος των μαθητών, αυτό που εννοούσα στα παραπάνω είναι ότι, πέρα από το διωνυμικό ανάπτυγμα, ένας άλλος τροπος να δούμε ότι ο είναι φυσικός είναι από τον αναδρομικό τύπο.
Εύγε στους μαθητές σου. Ας προσθέσω ότι έλαβα από κάποιον μαθητή-μέλος μας (δεν ξέρω από που είναι ή αν είναι στον κύκλο σου), Προσωπικό Μήνυμα γραμμένο στις 4 το πρωί με περιγραφή της λύσης. Μένω άναυδος. Μόνο θετικά σχόλια μπορώ να έχω για το πάθος και τις ικανότητες μερικών μαθητών μας.Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑Κυρ Δεκ 06, 2020 2:02 pmΥ. Γ: η άσκηση σας από Ρουμανία λύθηκε στις 1 το βράδυ από 3 μαθητές με 2 διαφορετικούς τρόπους. Τα χαιρετίσματα μας από Καλαμάτα!
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Νυχτερινές Ανησυχίες
Μιχάλη, η πρώτη ακολουθία είναι η . Ήξερα σίγουρα μόλις το είδα ότι ήταν λάθος διότι από τέτοιες ακολουθίες είναι περιοδικές από την αρχή. Δηλαδή, μόλις δείξουμε ότι για κάθε τότε γνωρίζουμε και ότι για κάθε . Για το συγκεκριμένο παράδειγμα μπορούμε να το δούμε ως εξής: . Ομοίως μπορούμε να δείξουμε ότι και επαγωγικά .Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Κυρ Δεκ 06, 2020 12:05 pmΕργαζόμαστε molulo . Η μεν πρώτη ακολουθία (με χρήση του αναδρομικού) είναι η (σταθερή από τον τρίτο όρο) ενώ η δεύτερη είναι . Δηλαδή ποτέ ξανά ίσα, ούτε καν modulo .
Ίσως λοιπόν να είναι αναγκαίες αυτές οι εξωπραγματικές λύσεις για τις οποίες μιλάει ο Νίκος (χρόνια πολλά παρεμπιπτόντως). Θα την δοκιμάσω.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Νυχτερινές Ανησυχίες
Δημήτρη, έχεις δίκιο! Πώς μου ξέφυγε ένα τόσο αυτονόητο;
Αυτά παθαίνεις όταν δουλεύεις Μαθηματικά τα άγρια μεσάνυχτα. Θα το κοιτάξω να δω αν μπορώ να το σώσω...
Υπομονή γιατί πέρα από τα συνηθισμένα, έχω μεθαύριο μία μικρή ιατρική επέμβαση (ευτυχώς με επιστροφή στο σπίτι την ίδια μέρα), και είμαι τώρα στο στάδιο της αγωγής.
Να 'σαι καλά.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες