Απορίες

Συντονιστής: spyros

miltosk
Δημοσιεύσεις: 96
Εγγραφή: Τετ Μάιος 29, 2019 7:28 pm

Απορίες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από miltosk » Παρ Φεβ 14, 2020 4:53 pm

Καλησπέρα. Δύο διαφορετικές απορίες:
i) Επί του θεωρήματος μοναδικού σημείου καμπής στις ανισότητες (δηλαδή αν f 2 φορές παραγωγίσιμη με μοναδικό σημείο καμπής, και \sum_{i=1}^{n}x_i=c, όπου c σταθερά και x_i πραγματικοί, τότε η παράσταση E=\sum_{i=1}^{n}f(x_i) παίρνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή όταν n-1 από τις μεταβλητές της είναι ίσες-τα x_i να ανήκουν στο πεδίο ορισμού της f- (*διορθώστε με αν κάνω λάθος διατύπωση*), πως θα γνωρίζω πότε η E παίρνει μέγιστη ή ελάχιστη τιμή; Πρέπει να εξισώσω τις n-1 μεταβλητές και να θεωρήσω αυτή που απομένει ως μικρότερη ή ίση για το ελάχιστο (δηλαδή: x_1=x_2=...=x_{n-1} \geq x_n για το ελάχιστο της Ε) και αντίστοιχα να θεωρήσω αυτήν που απομένει ως μεγαλύτερη ή ίση των άλλων (δηλαδή: x_n \geq x_{n-1}=x_{n-2}=...=x_1 για το μέγιστο);
Είναι σωστό αυτό; Αν όχι παρακαλώ βοηθήστε με.
ii) Αν f,h: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} και f(f(x)-h(x))=0 για κάθε πραγματικό x μπορώ να βγάλω κάποια συμπεράσματα για την f ή για την σχέση των f,h; (για παράδειγμα συμπεράσματα εννοώ του τύπου f σταθερή ή f(x)-h(x)=c όπου c σταθερά κλπ).



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1848
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Απορίες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Σάβ Φεβ 15, 2020 11:57 pm

Για το ii) έκανα μια σκέψη

Για διακριτό χώρο ριζών

Μια περίπτωση απλής ρίζας
Ας υποθέσουμε ότι f(x)=x+1,~h(x)=x+2 τότε f(x)-h(x)=-1 και f(f(x)-h(x))=f(-1)=0 για κάθε x \in \mathbb{R}.
Δηλαδή αν η συνάρτηση f έχει μια ρίζα \rho τότε υποχρεωτικά h(x)=f(x)-\rho

Μια περίπτωση πολλαπλών ριζών θα είχε ανάλογα αποτελέσματα
Ας υποθέσουμε ότι f(x)=x^2-1,~h(x)=x^2 τότε f(x)-h(x)=-1 και f(f(x)-h(x))=f(-1)=0 για κάθε x \in \mathbb{R} αλλά και για h(x)=x^2-2 ανάλογα ισχύει.
Δηλαδή αν η συνάρτηση f έχει διακεκριμένες ρίζες \rho_i τότε υποχρεωτικά θα υπάρχουν h_i(x)=f(x)-\rho_i

Οι τετριμμένη περίπτωση είναι η f(x)=0 άρα θα ισχύει για αυθαίρετη h(x)

Η περίπτωση να μην έχει η f ρίζες προφανώς αποκλείεται

Για τον συνεχή χώρο, δηλαδή γενικά για διαστήματα, ας πούμε γενικά A, που η f μηδενίζεται μπορούμε ανάλογα να θεωρούμε h(x)=f(x)-\rho όπου \rho \in A

Το συμπέρασμα μου είναι ότι η γνώση μόνο των ριζών της f θα μας οδηγούσε σε πολύ λιτό συμπέρασμα, ότι η απλά οι f,h θα διαφέρουν κατά κατάλληλη σταθερά. Η γνώση του τύπου της f κατασκευάζει πλήρως την h. Η γνώση της h και των ριζών της f επιλύουν το πρόβλημα για την f.
Το αντίστροφο πρόβλημα, δηλαδή δοθέντος μιας συνάρτησης h μπορεί να βρεθεί ο τύπος της f είναι το "ζουμερό" της κατάστασης.
Αν υποθέσουμε ότι h(x)+g(x)=f(x) τότε θα καταλήξουμε στο f\circ g (x)=0 το οποίο για να είναι επιλύσιμο πρόβλημα για κάθε x \in \mathbb{R} πρέπει g(x)=\rho{/}\rho\in A:=\{x/f(x)=0\}

νομίζω σωστά επισημαίνεις γενικά
miltosk έγραψε:
Παρ Φεβ 14, 2020 4:53 pm
(για παράδειγμα συμπεράσματα εννοώ του τύπου f σταθερή ή f(x)-h(x)=c όπου c σταθερά κλπ).
με την διαφορά ότι η f δεν είναι οποιαδήποτε σταθερή αλλά η μηδενική.

Εύχομαι να μην κούρασε η φλυαρία


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12497
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Απορίες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Φεβ 16, 2020 12:26 am

miltosk έγραψε:
Παρ Φεβ 14, 2020 4:53 pm
ii) Αν f,h: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} και f(f(x)-h(x))=0 για κάθε πραγματικό x μπορώ να βγάλω κάποια συμπεράσματα για την f ή για την σχέση των f,h; (για παράδειγμα συμπεράσματα εννοώ του τύπου f σταθερή ή f(x)-h(x)=c όπου c σταθερά κλπ).
Δεν μπορείς να βγάλεις απολύτως κανένα συμπέρασμα. Για παράδειγμα έστω για κάθε x είναι f(x) \ge 0 και h(x) \le 0. Έστω ακόμη για τα θετικά x είναι f(x)=0 ενώ για τα αρνητικά η f είναι ότι θέλει. Λόγω του τελευταίου, δεν μπορούμε να πούμε απολύτως τίποτα για το αν η f είναι σταθερή και η f δεν έχει καμία σχέση με την h. Πλην όμως f(f(x)-h(x))= f(thetikou) = 0.


miltosk
Δημοσιεύσεις: 96
Εγγραφή: Τετ Μάιος 29, 2019 7:28 pm

Re: Απορίες

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από miltosk » Κυρ Φεβ 16, 2020 12:49 am

Σας ευχαριστώ πολύ για την ενασχόληση και τις απαντήσεις σας.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης