Ερώτηση-3.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 1.png (7.45 KiB) Προβλήθηκε 1600 φορές

Για το τετράπλευρο ABCD

του παραπάνω σχήματος ισχύει ότι AB=AD=DC

.
Τι συμπεραίνετε γι΄ αυτό;

#2

Καλησπέρα σε όλους.

Αναρωτιέμαι γιατί στα γενικά θέματα; Το βρίσκω ωραίο θέμα για συζήτηση στην τάξη (Α' Λυκείου).

: 07-01-2020 Γεωμετρία.jpg (28.14 KiB) Προβλήθηκε 1585 φορές

Φέρνουμε την

, που τέμνει την

στο

.

Το

είναι ισοσκελές, άρα $\displaystyle \widehat {DAO} = \widehat {DCO} = \varphi$ .

Τα BOC, AOD

έχουν $\displaystyle \widehat {\rm B} = \widehat D = 80^\circ$ , $\displaystyle \widehat {BOC} = \widehat {AOD}$ (κατακορυφήν) άρα $\displaystyle \widehat {BCO} = \varphi$ , άρα $\displaystyle \widehat {{\rm A}{\rm O}{\rm B}} = \varphi$ (αφού ABC

ισοσκελές).

Τότε DOC = AOB

, αφού έχουν μία πλευρά ίση και τις αντίστοιχες γωνίες ίσες), οπότε οι διαγώνιοι του ABCD

διχοτομούνται άρα είναι παραλληλόγραμμο, κι αφού έχει διαδοχικές πλευρές ίσες είναι ρόμβος.

edit: Όπως γράφω και παρακάτω, η λύση έχει και τυπογραφικό λάθος ( BAO

αντί

, αλλά και λογικό κενό, οπότε είναι λάθος.

Φανης Θεοφανιδης · #3

Χρόνια πολλά Γιώργο.

Δεν καταλαβαίνω γιατί το τρίγωνο ABC

είναι ισοσκελές και γιατί $\angle AOB=\varphi$ .

#4

: Ερώτηση 3.png (9.92 KiB) Προβλήθηκε 1546 φορές

Για κάθε τιμή των οξειών γωνιών $\theta$ το τετράπλευρο ABCD

είναι ρόμβος.

Αν K,L

προβολές των $B,D\,$ στις παράλληλες ευθείες $DA\,,\,BC$ θα είναι :

$\vartriangle KDB = \vartriangle LBD$ ( ορθογώνια με ίσες υποτείνουσες και ίσες οξείες γωνίες )

Άμεση συνέπεια : και τα ορθογώνια τρίγωνα $KAB\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,LCD$ είναι ίσα .

( ορθογώνια με ίσες υποτείνουσες και από μια κάθετη πλευρά ίση )

Άρα : AD = AK + KD = CL + LB = CB

συνεπώς το τετράπλευρο ABCD

έχει 4 πλευρές ίσες και είναι ως εκ τούτου ρόμβος .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 07, 2020 6:44 pm
1.png

Για το τετράπλευρο του παραπάνω σχήματος ισχύει ότι .
Τι συμπεραίνετε γι΄ αυτό;

Κατασκευάζουμε το ισοσκελές τραπέζιο(Είναι BC//AD)

.Τότε, $\angle BAD= \angle E= \angle CDE=20^0 \Rightarrow \angle BDC=80^0$

Έτσι , ABCD

παραλ/μμο με δυο διαδοχικές πλευρές ίσες,άρα ρόμβος

: Ερώτηση-3.png (9.46 KiB) Προβλήθηκε 1527 φορές

#6

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 07, 2020 8:01 pm
Χρόνια πολλά Γιώργο.

Δεν καταλαβαίνω γιατί το τρίγωνο είναι ισοσκελές και γιατί $\angle AOB=\varphi$ .

Φάνη Χρόνια Πολλά! Έχεις δίκιο που δεν καταλαβαίνεις, γιατί η παραπάνω λύση έχει και κενά, ακόμα και τυπογραφικό λάθος: $\angle ABO=\varphi$

Μέχρι να διορθώσω είχαν ήδη αναρτηθεί ευθείες αποδείξεις από τον Νίκο και τον Μιχάλη, οπότε επιχειρώ μια απάντηση με απαγωγή σε άτοπο. Αφήνω την παραπάνω λανθασμένη για διδακτικούς λόγους...

: 07-01-2020 Γεωμετρία.jpg (45.99 KiB) Προβλήθηκε 1519 φορές

Το

έχει

(έχουν εντός γωνίες εναλλάξ ίσες).

Φέρνουμε από το

παράλληλη στη

, που τέμνει την ημιευθεία της

στο

. Τότε

παραλληλόγραμμο, άρα CK = AB

οπότε και

.

Αν το

είναι στην προέκταση της

τότε το ισοσκελές CDK

έχει γωνία βάσης $\displaystyle \widehat K = 160^\circ$ . Αυτό είναι άτοπο.

Αν το

είναι στο εσωτερικό του

τότε στο ισοσκελές DCK

είναι $\displaystyle \widehat K = 20^\circ$ , ενώ $\displaystyle \widehat D > 80^\circ$ , επίσης άτοπο. Άρα το

ταυτίζεται με το

.

#7

Τα τρίγωνα ABD

και

από το ... γνωστό κριτήριο Γ-Π-Π (

), είναι ίσα, γατί οι γωνίες των κορυφών τους A, C

δεν είναι παραπληρωματικές ( αφού η γωνία

δεν μπορεί να είναι 160^o

) κ.λπ.

Συμπεραίνουμε, ότι στην δοσμένη ισότητα πλευρών, η AD περισσεύει.

#8

Είναι

και

οπότε το

είναι ισοσκελές τραπέζιο ή ρόμβος. Αν είναι

ισοσκελές τραπέζιο θα πρέπει $20^\circ=B\widehat AD=C\widehat DA>80^\circ,$ που είναι άτοπο. Άρα είναι ρόμβος.

Φανης Θεοφανιδης · #9

: 1.png (13 KiB) Προβλήθηκε 1408 φορές

Ορίστε και το πρόβλημα από το οποίο προέκυψε το εν λόγω τετράπλευρο.

Στο παραπάνω σχήμα ισχύει ότι AB=DC

.
Βρείτε το μέτρο της γωνίας $\theta$ .

(Έγραψα τον περίκυκλο του τριγώνου ABC

και.....).

#10

Καλησπέρα σε όλους.

Μια απάντηση στο παραπάνω πρόβλημα του Φάνη:

Ν. Ημιτόνων sτο BDC

: $\displaystyle \frac{{DC}}{{\eta \mu 80^\circ }} = \frac{{BC}}{{\eta \mu D}} \Leftrightarrow \frac{{{\rm B}C}}{{DC}} = \frac{{\eta \mu D}}{{\eta \mu 80^\circ }}$ .

Ν. Ημιτόνων sτο ABC

: $\displaystyle \frac{{BC}}{{\eta \mu 10^\circ }} = \frac{{AB}}{{\eta \mu 30^\circ }} \Leftrightarrow \frac{{{\rm B}C}}{{AB}} = \frac{{\eta \mu 10^\circ }}{{\eta \mu 30^\circ }}$ .

οπότε, $\displaystyle \frac{{\eta \mu D}}{{\sigma \upsilon \nu 10^\circ }} = 2\eta \mu 10^\circ \Leftrightarrow \eta \mu D = \eta \mu 20^\circ$ και αφού είναι μικρότερη των $\displaystyle 100^\circ$ , είναι $\displaystyle \widehat D = 20^\circ \Rightarrow \widehat \theta = 80^\circ$ .

Και με την ευκαιρία, μια ακόμα απάντηση στο αρχικό πρόβλημα:

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 07, 2020 6:44 pm

1.png (7.45 KiB) Προβλήθηκε 1354 φορές

Για το τετράπλευρο του παραπάνω σχήματος ισχύει ότι .
Τι συμπεραίνετε γι΄ αυτό;

Ν. Ημιτόνων sτο BDC

: $\displaystyle \frac{{DC}}{{\eta \mu 80^\circ }} = \frac{{BD}}{{\eta \mu C}} \Leftrightarrow \frac{{{\rm B}D}}{{DC}} = \frac{{\eta \mu C}}{{\eta \mu 80^\circ }}$ .

Στο ABD

είναι $\displaystyle \sigma \upsilon \nu 80^\circ = \frac{{\frac{{BD}}{2}}}{{{\rm A}{\rm B}}} \Leftrightarrow \frac{{BD}}{{AB}} = 2\sigma \upsilon \nu 80^\circ$ ,

οπότε, $\displaystyle \frac{{\eta \mu C}}{{\eta \mu 80^\circ }} = 2\sigma \upsilon \nu 80^\circ \Leftrightarrow \eta \mu C = \eta \mu 160^\circ$ και αφού είναι μικρότερη των $\displaystyle 100^\circ$ , είναι $\displaystyle \widehat C = 20^\circ \Rightarrow \widehat {{\rm B}DC} = 80^\circ$ ,

οπότε το ABCD

είναι ρόμβος.

#11

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 08, 2020 2:19 pm
1.png

Ορίστε και το πρόβλημα από το οποίο προέκυψε το εν λόγω τετράπλευρο.

Στο παραπάνω σχήμα ισχύει ότι .
Βρείτε το μέτρο της γωνίας $\theta$ .

(Έγραψα τον περίκυκλο του τριγώνου και.....).

Φαντάζομαι, αυτό εννοείς Φάνη.

: 80-80-20.png (20.35 KiB) Προβλήθηκε 1317 φορές

Φανης Θεοφανιδης · #12

Αυτό ακριβώς αγαπητέ Γιώργο.

Ερώτηση-3.

Ερώτηση-3.

Re: Ερώτηση-3.

Re: Ερώτηση-3.

Re: Ερώτηση-3.

Re: Ερώτηση-3.

Re: Ερώτηση-3.

Re: Ερώτηση-3.

Re: Ερώτηση-3.

Re: Ερώτηση-3.

Re: Ερώτηση-3.

Re: Ερώτηση-3.

Re: Ερώτηση-3.

Μέλη σε σύνδεση