Ομογενείς ανισότητες

Xriiiiistos · #1

Σε κάποιες λύσεις ανισοτήτων που έβλεπα έλεγε πως είναι ομογενής και μετά έθετε το άθροισμα των μεταβλητών ίσο με

χωρίς βλάβη της γενικότητας. Οπότε έχω μερικές απορίες αφού δεν βρήκα στο διαδίκτυο κάτι ούτε λέει κάτι το βιβλίο που έχω. Τι είναι ομογενής ανισότητες; Όταν είναι ομογενείς μπορούμε να θέτουμε πάντα το άθροισμα των μεταβλητών ίσο με έναν αριθμό; Έχουμε περιορισμούς για αυτόν τον αριθμό;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Xriiiiistos έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 07, 2019 6:06 pm
Σε κάποιες λύσεις ανισοτήτων που έβλαπα έλεγε πως είναι ομογενής και μετά έθετε το άθροισμα των μεταβλητών ίσο με χωρίς βλάβη της γενικότητας. Οπότε έχω μερικές απορίες αφού δεν βρήκα στο διαδίκτιο κάτι ούτε λέει κάτι το βιβλίο που έχω. Τι είναι ομογενής ανισότητες; Όταν είναι ομογενείς μπορούμε να θέτουμε πάντα το άθροισμα των μεταβλητών ίσο με έναν αριθμό; Έχουμε περιορισμούς για αυτόν τον αριθμό;

Μια ανισότητα λέγεται ομογενής αν όταν ισχύει για τα $a_{1},a_{2},.....,a_{n}\geq 0$

ισχύει και για τα

$\lambda a_{1},\lambda a_{2},.....,\lambda a_{n},\lambda > 0$

Είναι προφανές ότι αν ισχύει για τα δεύτερα ισχύει και για τα πρώτα.

(Αρκεί να πολλαπλασιάσουμε με $\frac{1}{\lambda }$ )

Είναι σαφές ότι μπορούμε να διαλέξουμε όποιο $\lambda$ θέλουμε.

π.χ μπορούμε να πάρουμε το $\lambda$ έτσι ώστε

$\sum_{i=1}^{n}a_{i}=c$ με c>0

η $a_{1}.a_{2}....a_{n}=c$ με c>0

.

και άλλα πολλά.

Συνήθως το

το παίρνουμε ίσο με

συμπλήρωμα. Εσβησα μια σχέση που κατά λάθος είχε γραφεί δύο φορές.

Al.Koutsouridis · #3

Xriiiiistos έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 07, 2019 6:06 pm
Σε κάποιες λύσεις ανισοτήτων που έβλαπα έλεγε πως είναι ομογενής και μετά έθετε το άθροισμα των μεταβλητών ίσο με χωρίς βλάβη της γενικότητας. Οπότε έχω μερικές απορίες αφού δεν βρήκα στο διαδίκτιο κάτι ούτε λέει κάτι το βιβλίο που έχω. Τι είναι ομογενής ανισότητες; Όταν είναι ομογενείς μπορούμε να θέτουμε πάντα το άθροισμα των μεταβλητών ίσο με έναν αριθμό; Έχουμε περιορισμούς για αυτόν τον αριθμό;

Ίσως κάποιος πιο έμπειρος να απαντήσει πιο πλήρως. Αλλά επί της ουσίας, νομίζω, γίνεται το εξής: ας θεωρήσουμε μια συνάρτηση f(a,b,c)

τριών μεταβλητών για απλότητα.

Η συνάσρτηση f(a,b,c)

ονομάζεται ομογενής βαθμού

αν και μόνο αν υπάρχει πραγματικός

, ώστε για κάθε t >0

να ισχύει
$t^{n}\cdot f(a,b,c)=f(ta,tb,tc)$ .

Έστω οι αριθμοί $\hat{a} = \dfrac{a}{|a|+|b|+|c|}$ , $\quad$ $\hat{b} = \dfrac{b}{|a|+|b|+|c|}$ , $\quad$ $\hat{c} = \dfrac{c}{|a|+|b|+|c|}$ και $t= \dfrac{1}{|a|+|b|+|c|}$ .

Εφόσον οι μεταβλητές σου είναι θετικές ισχύει $\hat{a}+\hat{b}+\hat{c}=1$ και $\hat{a}=ta$ , $\hat{b}=tb$ , $\hat{c}=tc$ .

Aποδεικνύεις την ανισότητα $f(\hat{a},\hat{b},\hat{c}) \geq 0$ , με $\hat{a}+\hat{b}+\hat{c}=1$ η οποία, λόγω της ομοιογένειας όπως ορίστηκε παραπάνω, είναι ισοδύναμη με

$f(\hat{a},\hat{b},\hat{c})= f(ta,tb,tc)=t^{n}f(a,b,c) \geq 0 \Leftrightarrow f(a,b,c) \geq 0$

Εδώ διαλέξαμε $\frac{1}{t} =|a|+|b|+|c|$ αλλά στην γενική περίπτωση

μεταβλητών θα μπορούσαμε να διαλέξουμε

$\frac{1}{t} = |x_{1}|+|x_{2}|+...+|x_{m}|$ , ή όπως αλλιώς ονομάζεται $l_{1}$ νόρμα. Θα μπορούσαμε να διαλέξουμε την ευκλείδεια νόρμα (απόσταση) ενός διανύσματος $(x_{1},x_{2},...,x_{m} )= \sqrt{x_{1}^2+x_{2}^2+...x_{m}^2}$ και να προκύψει μια διαφορετική συνθήκη για τα $x_{1},x_{2},..$ κτλ. που μας βολεύει, ως προς την απόδειξη της επιθυμητής ανισότητας. Γενικά οποιαδήποτε συνθήκη που βολεύει, απλοποιεί την κατάσταση αλλά, διατηρεί την ισοδυναμία της ομοιoγένειας.

Edit: Ενόσω έγραφα με πρόλαβε ο κ.Σταύρος. Το αφήνω για το κόπο.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #4

Καλησπέρα σε όλους!

Θα μπορούσε να δώσει κάποιος κάποιο παράδειγμα μη ομογενούς ανισότητας,για να δω αν κατάλαβα;

Επίσης , στην λύση της εξής άσκησης : Να βρεθούν όλες οι τριάδες $\left ( x,y,z \right )$ φυσικών αριθμών ,με . Λέει πως η εξίσωση είναι ομοιογενής και θεωρεί χωρίς βλάβη της γενικότητας $\left ( x,y,z \right )=1$ , στο συγκεκριμένο βιβλίο όμως δεν γίνεται αναφορά στο τι είναι οι ομοιογενείς εξισώσεις και τι μπορούμε να θεωρούμε χωρίς βλάβη της γενικότητας.Θα μπορούσε κάποιος να εξηγήσει;

#5

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 08, 2019 9:01 pm

Θα μπορούσε να δώσει κάποιος κάποιο παράδειγμα μη ομογενούς ανισότητας,για να δω αν κατάλαβα;

$1+a^2\ge 2a$

Al.Koutsouridis · #6

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 08, 2019 9:01 pm
Καλησπέρα σε όλους!

Επίσης , στην λύση της εξής άσκησης : Να βρεθούν όλες οι τριάδες $\left ( x,y,z \right )$ φυσικών αριθμών ,με . Λέει πως η εξίσωση είναι ομοιογενής και θεωρεί χωρίς βλάβη της γενικότητας $\left ( x,y,z \right )=1$ , στο συγκεκριμένο βιβλίο όμως δεν γίνεται αναφορά στο τι είναι οι ομοιογενείς εξισώσεις και τι μπορούμε να θεωρούμε χωρίς βλάβη της γενικότητας.Θα μπορούσε κάποιος να εξηγήσει;

Θα κάνω μια προσπάθεια να δώσω απαντήση στην ερώτησή σου. Πιθανόν να την έχεις βρει ήδη.

Ο ορισμός και για την εξίσωση είναι παρόμοιος με αυτών που έχει δοθεί στις παραπάνω δημοσιεύσεις.

Μια εξίσωση (*) ονομάζεται ομογενής αν όταν ισχύει για τα $\displaystyle a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}$ , ισχύει και για τα $\displaystyle \lambda a_{1}, \lambda a_{2}, ..., \lambda a_{n}$ . Όπου $\lambda \in \mathbb{R}$ (**)

Ως αναφορά την "βλάβη της γενικότητας", δεν νομίζω να υπάρχει γενικός κανόνας το τι μπορεί να θεωρηθεί χωρίς βλάβη της γενικότητας. Η αποδεικτική διαδικασία με την χρησιμοποίηση του όρου χωρίς βλαβη της γενικότητας, έγκειται στο εξής:

Η υπόθεση που κάνουμε στην αρχή της αποδεικτικής διαδικασίας-λύσης (η οποία υπόθεση είναι η εξέταση/απόδειξη μιας ειδικής περίπτωσης του γενικότερου αποτελέσματος που θέλουμε να δείξουμε) συνεπάγεται, ότι αυτή η απόδειξη (της ειδικής περίπτωσης) μπορεί εύκολα εφαρμοστεί/προσαρμοστεί/γενικευθεί και σε όλες τις άλλες περιπτώσεις ή ότι η απόδειξη για τις άλλες περιπτώσεις είναι παρόμοια.

Για παράδειγμα, αν έχουμε την εξίσωση f(x)=0

, όπου

μια άρτια συνάστηση, μπορούμε να πούμε, ότι χωρίς βλάβη της γενικότητας θα υποθέσουμε $x \geq 0$ . Γιατί οι όποιες λύσεις θα βρούμε μπορούν να γενικευτούν εύκολα και για τα αρνητικά

, λόγω της αρτιότητας f(-x)=f(x)

.

Ή μπορεί να εκφραστεί στο να θεωρήσουμε ότι ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο. Σε περίπτωση που θέλουμε να αποδείξουμε μια ιδιότητα σε ένα τρίγωνο και όλα τα βήματα στην απόδειξή μας έχουν τα άναλογα και για αμβλυγώνιο τρίγωνο.

Στο συγκεκριμένο πρόβλημα που παρέθεσες: Ας εξετάσουμε αρχικά αν η εξίσωση είναι ομογενής. Αρκεί να δείξουμε, ότι αν x,y,z

μια λύση της εξίσωσης τότε και $\lambda x, \lambda y , \lambda z$ θα είναι και αυτή λύση. Πράγματι έχουμε

$2(\lambda x)^4+2(\lambda y)^4-(\lambda z)^4 = 2\lambda ^4 x^4+2\lambda ^4 y^4-\lambda ^4 z^4=\lambda ^4(2x^4+2y^4-z^4)=\lambda ^4 \cdot 0 =0$ .

Άρα η εξίσωσή μας είναι ομογενής. Τώρα που έγκυται η μη βλάβη της γενικότητας αν θεωρήσουμε ότι ο Μ.Κ.Δ των x,y,z

είναι

; Από το γεγονός ότι αν βρούμε μια τέτοια λύση (τριάδα αριθμών) τότε μπορούμε να παράξουμε και όλες τις άλλες λύσεις που προκύπτουν από αυτήν. Λόγω ακριβώς της ομοιογένειας και κάθε τριάδα $\lambda x, \lambda y, \lambda z$ , όπου $\lambda$ φυσικός μεγαλύτερος του ένα, θα είναι λύση. "Μικρότερη" τριάδα από αυτή την λύση δεν μπορεί να παραχθεί. Δηλαδή να χρησιμοποιήσουμε $\lambda =\frac{1}{d}$ , όπου

φυσικός μεγαλύτερος του ένα, γιατί τότε η τριάδα δεν θα είχε Μ.Κ.Δ ίσο με

, γεγονός που αντιβαίνει στην αρχική μας υπόθεση.

Αλλά και αντίστροφα, αν x,y,z

μια τυχούσα λύση της εξίσωσης, τότε λόγω της ομοιογένειας και η λύση $x_{0}=\frac{1}{d}x, y_{0} = \frac{1}{d}y, z_{0} = \frac{1}{d}z$ , όπου

ο Μ.Κ.Δ. των x,y,z

, θα είναι λύση με Μ.Κ.Δ. των $x_{0}, y_{0}, z_{0}$ την μονάδα. Αρκεί δηλαδή να βρεθούν οι τριάδες που έχουν Μ.Κ.Δ. ένα. Ομοίως και αν δεν βρεθούν τέτοιες τριάδες.

(*) Στην περίπτωση των πολυωνύμων η ομοιογένεια έχει τον εξής ορισμό: Ένα πολυώνυμο ονομάζεται ομογενές αν κάθε μονώνυμο που το αποτελεί έχει τον ίδιο βαθμό.

(**) Γενικά στην περίπτωση που έχουμε να κάνουμε με πραγματικές συναρτήσεις (και τις αντίστοιχες εξισώσεις που ορίζουν), θεωρούμε στον ορισμό $\lambda > 0$ (θετική ομοιογένεια).

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #7

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 14, 2019 11:48 pm

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 08, 2019 9:01 pm
Καλησπέρα σε όλους!

Επίσης , στην λύση της εξής άσκησης : Να βρεθούν όλες οι τριάδες $\left ( x,y,z \right )$ φυσικών αριθμών ,με . Λέει πως η εξίσωση είναι ομοιογενής και θεωρεί χωρίς βλάβη της γενικότητας $\left ( x,y,z \right )=1$ , στο συγκεκριμένο βιβλίο όμως δεν γίνεται αναφορά στο τι είναι οι ομοιογενείς εξισώσεις και τι μπορούμε να θεωρούμε χωρίς βλάβη της γενικότητας.Θα μπορούσε κάποιος να εξηγήσει;
Θα κάνω μια προσπάθεια να δώσω απαντήση στην ερώτησή σου. Πιθανόν να την έχεις βρει ήδη.

Ο ορισμός και για την εξίσωση είναι παρόμοιος με αυτών που έχει δοθεί στις παραπάνω δημοσιεύσεις.

Μια εξίσωση (*) ονομάζεται ομογενής αν όταν ισχύει για τα $\displaystyle a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}$ , ισχύει και για τα $\displaystyle \lambda a_{1}, \lambda a_{2}, ..., \lambda a_{n}$ . Όπου $\lambda \in \mathbb{R}$ (**)

Ως αναφορά την "βλάβη της γενικότητας", δεν νομίζω να υπάρχει γενικός κανόνας το τι μπορεί να θεωρηθεί χωρίς βλάβη της γενικότητας. Η αποδεικτική διαδικασία με την χρησιμοποίηση του όρου χωρίς βλαβη της γενικότητας, έγκειται στο εξής:

Η υπόθεση που κάνουμε στην αρχή της αποδεικτικής διαδικασίας-λύσης (η οποία υπόθεση είναι η εξέταση/απόδειξη μιας ειδικής περίπτωσης του γενικότερου αποτελέσματος που θέλουμε να δείξουμε) συνεπάγεται, ότι αυτή η απόδειξη (της ειδικής περίπτωσης) μπορεί εύκολα εφαρμοστεί/προσαρμοστεί/γενικευθεί και σε όλες τις άλλες περιπτώσεις ή ότι η απόδειξη για τις άλλες περιπτώσεις είναι παρόμοια.

Για παράδειγμα, αν έχουμε την εξίσωση , όπου μια άρτια συνάστηση, μπορούμε να πούμε, ότι χωρίς βλάβη της γενικότητας θα υποθέσουμε $x \geq 0$ . Γιατί οι όποιες λύσεις θα βρούμε μπορούν να γενικευτούν εύκολα και για τα αρνητικά , λόγω της αρτιότητας .

Ή μπορεί να εκφραστεί στο να θεωρήσουμε ότι ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο. Σε περίπτωση που θέλουμε να αποδείξουμε μια ιδιότητα σε ένα τρίγωνο και όλα τα βήματα στην απόδειξή μας έχουν τα άναλογα και για αμβλυγώνιο τρίγωνο.

Στο συγκεκριμένο πρόβλημα που παρέθεσες: Ας εξετάσουμε αρχικά αν η εξίσωση είναι ομογενής. Αρκεί να δείξουμε, ότι αν μια λύση της εξίσωσης τότε και $\lambda x, \lambda y , \lambda z$ θα είναι και αυτή λύση. Πράγματι έχουμε

$2(\lambda x)^4+2(\lambda y)^4-(\lambda z)^4 = 2\lambda ^4 x^4+2\lambda ^4 y^4-\lambda ^4 z^4=\lambda ^4(2x^4+2y^4-z^4)=\lambda ^4 \cdot 0 =0$ .

Άρα η εξίσωσή μας είναι ομογενής. Τώρα που έγκυται η μη βλάβη της γενικότητας αν θεωρήσουμε ότι ο Μ.Κ.Δ των είναι ; Από το γεγονός ότι αν βρούμε μια τέτοια λύση (τριάδα αριθμών) τότε μπορούμε να παράξουμε και όλες τις άλλες λύσεις που προκύπτουν από αυτήν. Λόγω ακριβώς της ομοιογένειας και κάθε τριάδα $\lambda x, \lambda y, \lambda z$ , όπου $\lambda$ φυσικός μεγαλύτερος του ένα, θα είναι λύση. "Μικρότερη" τριάδα από αυτή την λύση δεν μπορεί να παραχθεί. Δηλαδή να χρησιμοποιήσουμε $\lambda =\frac{1}{d}$ , όπου φυσικός μεγαλύτερος του ένα, γιατί τότε η τριάδα δεν θα είχε Μ.Κ.Δ ίσο με , γεγονός που αντιβαίνει στην αρχική μας υπόθεση.

Αλλά και αντίστροφα, αν μια τυχούσα λύση της εξίσωσης, τότε λόγω της ομοιογένειας και η λύση $x_{0}=\frac{1}{d}x, y_{0} = \frac{1}{d}y, z_{0} = \frac{1}{d}z$ , όπου ο Μ.Κ.Δ. των , θα είναι λύση με Μ.Κ.Δ. των $x_{0}, y_{0}, z_{0}$ την μονάδα. Αρκεί δηλαδή να βρεθούν οι τριάδες που έχουν Μ.Κ.Δ. ένα. Ομοίως και αν δεν βρεθούν τέτοιες τριάδες.

(*) Στην περίπτωση των πολυωνύμων η ομοιογένεια έχει τον εξής ορισμό: Ένα πολυώνυμο ονομάζεται ομογενές αν κάθε μονώνυμο που το αποτελεί έχει τον ίδιο βαθμό.

(**) Γενικά στην περίπτωση που έχουμε να κάνουμε με πραγματικές συναρτήσεις (και τις αντίστοιχες εξισώσεις που ορίζουν), θεωρούμε στον ορισμό $\lambda > 0$ (θετική ομοιογένεια).

Σας ευχαριστώ πολύ

Ομογενείς ανισότητες

Ομογενείς ανισότητες

Re: Ομογενής ανισότητες

Re: Ομογενής ανισότητες

Re: Ομογενείς ανισότητες

Re: Ομογενείς ανισότητες

Re: Ομογενείς ανισότητες

Re: Ομογενείς ανισότητες

Μέλη σε σύνδεση