Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Συντονιστής: spyros

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9677
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

#681

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Ιαν 16, 2017 8:03 am

KARKAR έγραψε:Άσκηση 239
Άσκηση  239.png
Άσκηση 239.png (18.38 KiB) Προβλήθηκε 1313 φορές
Στο άκρο C της διαγωνίου AC , ορθογωνίου ABCD , φέρω κάθετη , η οποία τέμνει

τις προεκτάσεις των AB,AD στα σημεία S,P αντίστοιχα . Δείξτε ότι : \widehat{CBP}=\widehat{CDS}

Συμπλήρωση : Δείξτε ότι η γωνία \theta παίρνει μέγιστη τιμή . Μιχάλη , καλή χρονιά !

Επειδή : \omega=\phi ( και \theta=\zeta ) και από το ορθογώνιο τρίγωνο CAS , BS=\dfrac{b^2}{a} , έχουμε :

AS=\dfrac{a^2+b^2}{a} , συνεπώς : tan\phi=\dfrac{ab}{a^2+b^2}\leq \dfrac{1}{2} , με την ισότητα να ισχύει για a=b ,

όταν δηλαδή το ορθογώνιο καταστεί τετράγωνο . Η γωνία με εφαπτομένη \dfrac{1}{2} , είναι περίπου 26,565^0


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9677
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

#682

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Ιαν 26, 2017 3:56 pm

Άσκηση 242
Άσκηση  242.png
Άσκηση 242.png (13.29 KiB) Προβλήθηκε 1291 φορές
Με βάση τη διαγώνιο BD , ορθογωνίου BD σχεδιάσαμε το παραλληλόγραμμο

BDEC . Τμήμα SP\parallel CB ολισθαίνει με άκρα επί των επί των CE , BD .

Η AS τέμνει την BD στο σημείο Q , ενώ η EP τέμνει την DC στο T .

Δείξτε ότι η ημιευθεία QT διέρχεται από σταθερό σημείο .


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 675
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

#683

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Πέμ Ιαν 26, 2017 6:06 pm

Φέρνουμε την AP και έστω F το σημείο τομής της με την EC.

Αρχικά, αφού το D είναι το μέσο του AE και DP//EF, προκύπτει ότι το P είναι το μέσο του AF, άρα η EP είναι διάμεσος του τριγώνου AFE.

Παρομοίως, αφού το P είναι το μέσο του AF και PS//AE, προκύπτει ότι το S είναι το μέσο του EF, άρα η AS είναι διάμεσος του τριγώνου AFE.

Συνεπώς, έχουμε ότι το Q είναι το μέσο του DP.

Τέλος, επειδή το EDPC είναι τραπέζιο, Q είναι το μέσο της μια βάσης και T είναι η τομή των διαγωνίων του, έπεται από γνωστό λήμμα ότι η QT θα περνάει από το μέσο του EC που είναι σταθερό σημείο.
Συνημμένα
ασκήσεις με ορθογώνια.png
ασκήσεις με ορθογώνια.png (28.24 KiB) Προβλήθηκε 1274 φορές


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9677
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

#684

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Ιαν 26, 2017 10:16 pm

Άσκηση 243
Άσκηση 243.png
Άσκηση 243.png (14.29 KiB) Προβλήθηκε 1263 φορές
Στις πλευρές BC,CD , ορθογωνίου ABCD εντοπίστε σημεία P,S αντίστοιχα ,

ώστε τα τρίγωνα ABP,ASP να είναι ίσα . Στη συνέχεια , δείξτε ότι η κάθετη

από το B προς την AC και η PS , τέμνονται πάνω στην προέκταση της AD .


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5744
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

#685

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Ιαν 27, 2017 12:14 am

KARKAR έγραψε:Άσκηση 243
Άσκηση 243.pngΣτις πλευρές BC,CD , ορθογωνίου ABCD εντοπίστε σημεία P,S αντίστοιχα ,

ώστε τα τρίγωνα ABP,ASP να είναι ίσα . Στη συνέχεια , δείξτε ότι η κάθετη

από το B προς την AC και η PS , τέμνονται πάνω στην προέκταση της AD .
Έστω \boxed{AB = a} Επειδή AS = AB = a το S θα ανήκει στον ημικύκλιο (A,a) που

γράφεται προς το μέρος της CD και στο ευθύγραμμο τμήμα CD .

Στη συνέχεια φέρνουμε εφαπτομένη του ημικυκλίου στο S που τέμνει το

ευθύγραμμο τμήμα BC στο P και την ευθεία AD στο T.
Συλλογή ορθογωνίων_243.png
Συλλογή ορθογωνίων_243.png (19.78 KiB) Προβλήθηκε 1249 φορές
Επειδή η πολική του T προς το ημικύκλιο είναι η ευθεία DS που διέρχεται από το

C, άρα η πολική του C θα διέρχεται από το T . Αλλά η πολική του C θα διέρχεται

και από το B αφού η CB εφάπτεται του ημικυκλίου , συνεπώς η ευθεία TB είναι η

πολική του C και ως γνωστό είναι κάθετη στη διακεντρική ευθεία CA.

Φιλικά, Νίκος


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1644
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

#686

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Παρ Ιαν 27, 2017 2:08 pm

KARKAR έγραψε:Άσκηση 243
Άσκηση 243.pngΣτις πλευρές BC,CD , ορθογωνίου ABCD εντοπίστε σημεία P,S αντίστοιχα ,

ώστε τα τρίγωνα ABP,ASP να είναι ίσα . Στη συνέχεια , δείξτε ότι η κάθετη

από το B προς την AC και η PS , τέμνονται πάνω στην προέκταση της AD .
Καλημέρα ,με πολικό ψύχος και ωραία πολική λύση ...του Νίκου ,ας δουμε και μια λύση με τον παππού μας Πυθαγόρα .
Θέτουμε PB=x,SC=y,
Aρα από το Π.Θ. στο τρίγωνο ADS,a^{2}=b^{2}+(a-y)^{2}\Leftrightarrow y=a-\sqrt{a^{2}-b^{2}},a>y
Στο τρίγωνο SCP,x^{2}=y^{2}+b^{2}+x^{2}-2bx\Leftrightarrow x=\dfrac{a}{b}y\Leftrightarrow x=\dfrac{a}{b}(a-\sqrt{a^{2}-b^{2}})

Για το δευτερο ερώτημα εστω ότι AD,SP τέμνονται στο σημείο T και θα αποδείξω ότι BT\perp AC\Leftrightarrow AT^{2}+CB^{2}=AB^{2}+TC^{2},(*)

(*)\Leftrightarrow DT=\dfrac{a^{2}-b^{2}}{b},

Από την ομοιότητα των τριγώνων TDS,SCP, \dfrac{DT}{b-x}=\dfrac{a-y}{y}\Leftrightarrow DT=\dfrac{(b-x)(a-y)}{y},
Και απο τις εκφράσεις των x,y, τελευταία σχέση δίνει
DT=\dfrac{a^{2}-b^{2}}{b}

Γιάννης
Συνημμένα
ΑΣΚΗΣΗ 243.png
ΑΣΚΗΣΗ 243.png (68.62 KiB) Προβλήθηκε 1232 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1359
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

#687

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Παρ Ιαν 27, 2017 11:28 pm

KARKAR έγραψε:Άσκηση 243
Άσκηση 243.pngΣτις πλευρές BC,CD , ορθογωνίου ABCD εντοπίστε σημεία P,S αντίστοιχα ,

ώστε τα τρίγωνα ABP,ASP να είναι ίσα . Στη συνέχεια , δείξτε ότι η κάθετη

από το B προς την AC και η PS , τέμνονται πάνω στην προέκταση της AD .
Αλλιώς για το δεύτερο ερώτημα

Από \displaystyle{\vartriangle ASP = \vartriangle PAB \Rightarrow \angle ASP = \angle PBA = {90^0}} και \displaystyle{AS = AB = a}

Με \displaystyle{BE \cap AD = T} θα δείξουμε ότι \displaystyle{T,S,P} συνευθειακά .

Στο τρίγωνο \displaystyle{TCA} το \displaystyle{H} είναι ορθόκεντρο ,άρα \displaystyle{AH \bot TC \Rightarrow QHEC} εγγράψιμο

Από το ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle{ABC \Rightarrow {\alpha ^2} = AE \cdot AC = AH \cdot AQ \Rightarrow A{S^2} = AH \cdot AQ}

άρα \displaystyle{AS} εφαπτόμενη του περίκυκλου του \displaystyle{\vartriangle HQS} ,συνεπώς οι μπλε γωνίες είναι ίσες

Είναι \displaystyle{\angle PSC = \angle SAD} ως οξείες με κάθετες πλευρές κι επειδή τα συμπληρώματα των μπλε γωνιών

είναι ίσα θα έχουμε \displaystyle{\angle SAT = \angle SQC \Rightarrow TQSA} εγγράψιμο\displaystyle{ \Rightarrow \angle TSA = {90^0} \Rightarrow T,S,P} συνευθειακά
a.243.png
a.243.png (24.24 KiB) Προβλήθηκε 1218 φορές


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9677
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

#688

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Φεβ 10, 2017 1:59 pm

Άσκηση 244
Άσκηση 244.png
Άσκηση 244.png (14.97 KiB) Προβλήθηκε 1183 φορές
Ο κύκλος με διάμετρο την πλευρά AD , ορθογωνίου ABCD τέμνει την διαγώνιο BD

στο σημείο P . Αν η CP διέρχεται από το κέντρο K του κύκλου , βρείτε το λόγο : \dfrac{AB}{AD} .

Αν η AP ξανατέμνει τον κύκλο στο S και η DS την προέκταση της BA στο Q ,


δείξτε ότι η κάθετη από το D προς την CS διέρχεται από το μέσο M της BQ .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6719
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

#689

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Φεβ 10, 2017 5:17 pm

KARKAR έγραψε:Άσκηση 244

Άσκηση 244.pngΟ κύκλος με διάμετρο την πλευρά AD , ορθογωνίου ABCD τέμνει την διαγώνιο BD

στο σημείο P . Αν η CP διέρχεται από το κέντρο K του κύκλου , βρείτε το λόγο : \dfrac{AB}{AD} .

Αν η AP ξανατέμνει τον κύκλο στο S και η DS την προέκταση της BA στο Q ,


δείξτε ότι η κάθετη από το D προς την CS διέρχεται από το μέσο M της BQ .
Ορθογώνια 244.png
Ορθογώνια 244.png (22.58 KiB) Προβλήθηκε 1173 φορές
Έστω AB=CD=a, BC=AD=b, τότε \displaystyle{DK = \frac{b}{2},KC = \frac{{3b}}{2}} και από Π. Θ στο KDC: \boxed{\frac{a}{b}=\sqrt 2}

Επειδή \displaystyle{AS||DB,AP||DQ, SP=AD, άρα η SP είναι η ελάχιστη διαγώνιος (για οποιοδήποτε σημείο A'

της BQ θα είναι DA<DA'). Τα υπόλοιπα εδώ


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9677
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

#690

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Φεβ 10, 2017 9:22 pm

Είναι ώρα για μια ακόμη ανασκόπηση - κέντρισμα στους πολύ μερακλήδες :

Άθικτες παραμένουν οι 23,69 και μάλλον θα παραμείνουν .

Η νέα γενιά των άλυτων περιέχει τις 199 , 210 , 240 , 241 .

Ας με συγχωρήσετε , αλλά δεν έχω κατανοήσει τη λύση της 228


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9677
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

#691

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Φεβ 11, 2017 5:46 am

Άσκηση 228

Ευθεία η οποία διέρχεται από την κορυφή D , ορθογωνίου ABCD, τέμνει τις

προεκτάσεις τωνBA,BCστα σημεία P,Q αντίστοιχα . Από το P και τυχόν

σημείο S της AD , διέρχεται άλλη ευθεία , προς την οποία φέρουμε κάθετη

από το B , η οποία τέμνει την DCστο T . Δείξτε ότι και : QT \perp BS.
228.png
228.png (17.01 KiB) Προβλήθηκε 1146 φορές
Οι ροζ γωνίες είναι ίσες ( οξείες με πλευρές κάθετες ) , συνεπώς : \dfrac{x}{b}=\dfrac{s}{t}\Rightarrow x=\dfrac{bs}{t}

Τα τρίγωνα DAP ,QCD είναι προφανώς όμοια , οπότε : \dfrac{y}{a}=\dfrac{b}{t}\Rightarrow y=\dfrac{ab}{t} .

Διαιρώντας και απλοποιώντας , παίρνουμε : \dfrac{x}{y}=\dfrac{s}{a} , άρα ίσες είναι και οι μπλε γωνίες .

Τέλος , επειδή : \widehat{ASB}=\widehat{SBQ} ( εντός εναλλάξ ) , είναι και : \hat{L}=\hat{A}=90^0 , ό . έ .δ .


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3100
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

#692

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Σάβ Φεβ 11, 2017 12:15 pm

KARKAR έγραψε:Άσκηση 228
Ευθεία η οποία διέρχεται από την κορυφή D , ορθογωνίου ABCD , τέμνει τις

προεκτάσεις των BA,BC στα σημεία P,Q αντίστοιχα . Από το P και τυχόν

σημείο S της AD , διέρχεται άλλη ευθεία , προς την οποία φέρουμε κάθετη

από το B , η οποία τέμνει την DC στο T . Δείξτε ότι και : QT \perp BS .
228.png
228.png (25.29 KiB) Προβλήθηκε 1135 φορές
Είναι S\widehat PA = T\widehat BC = \theta \,(1) (οξείες με πλευρές κάθετες), οπότε από \triangleleft SPA \sim  \triangleleft TBC \Rightarrow \dfrac{{PA}}{{BC}} = \dfrac{{SP}}{{TB}}\,(2)

Από \triangleleft PAD \sim  \triangleleft PBQ \Rightarrow \dfrac{{PA}}{{AD}} = \dfrac{{PB}}{{BQ}}\, \Leftrightarrow \dfrac{{PA}}{{BC}} = \dfrac{{PB}}{{BQ}}(3)

Από (2),(3) \Rightarrow \dfrac{{SP}}{{TB}} = \dfrac{{PB}}{{BQ}} και λόγω της (1) προκύπτουν τα όμοια τρίγωνα SPB,TBQ , συνεπώς Q\widehat BK + \omega  = {90^ \circ }

Υ.Γ. Θανάση δεν είδα ότι την είχες λύσει...την αφήνω για τον κόπο...


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6719
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

#693

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Φεβ 13, 2017 3:16 pm

Άσκηση 245
Ορθογώνια.245.png
Ορθογώνια.245.png (9.36 KiB) Προβλήθηκε 1109 φορές
Πάνω στις πλευρές AB, BC ορθογωνίου ABCD θεωρώ αντίστοιχα τα σημεία P, Q ώστε τα τρίγωνα

APD, PBQ, CDQ να είναι ισεμβαδικά. Να υπολογίσετε το λόγο \displaystyle\frac{PB}{PA}.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1359
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

#694

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Φεβ 13, 2017 6:25 pm

george visvikis έγραψε:Άσκηση 245

Ορθογώνια.245.png
Πάνω στις πλευρές AB, BC ορθογωνίου ABCD θεωρώ αντίστοιχα τα σημεία P, Q ώστε τα τρίγωνα

APD, PBQ, CDQ να είναι ισεμβαδικά. Να υπολογίσετε το λόγο \displaystyle\frac{PB}{PA}.
Μια σκέψη...


\displaystyle{\frac{{PB}}{{PA}} = \frac{{\left( {DPB} \right)}}{{\left( {DPA} \right)}} = \frac{{\left( {DPB} \right)}}{{\left( {QPB} \right)}} = \frac{b}{x}}\displaystyle{\displaystyle{(1)} 
 
Οι κάθετες στις \displaystyle{BC,AB} στα \displaystyle{Q,P} τέμνονται στο \displaystyle{E} και 
 
 ισχύει \displaystyle{EP//AD \Rightarrow \left( {DAP} \right) = \left( {DEA} \right)} και \displaystyle{EQ//DC \Rightarrow \left( {DCQ} \right) = \left( {DEC} \right)} 
 
Άρα \displaystyle{\left( {DEA} \right) = \left( {DEC} \right)} ,επομένως η \displaystyle{DE} περνά από το μέσον \displaystyle{K} της \displaystyle{AC} ,δηλαδή είναι  διαγώνιος του ορθογωνίου και  του \displaystyle{EQBP} 
 
Τώρα , \displaystyle{\left( {DEP} \right) = \left( {DPZ} \right) - \left( {EZP} \right) = \left( {DZQ} \right) - \left( {EQZ} \right) = \left( {DEQ} \right)}  
 
άρα \displaystyle{\left( {EAP} \right) = \left( {ECQ} \right) \Rightarrow AP \cdot x = EQ \cdot CQ \Rightarrow AP \cdot x = PB\left( {b - x} \right) \Rightarrow \boxed{\frac{{PB}}{{PA}} = \frac{x}{{b - x}}}}}\displaystyle{(2)}

Από \displaystyle{(1)}, \displaystyle{(2)} \displaystyle{ \Rightarrow \frac{x}{{b - x}} = \frac{b}{x}} και με \displaystyle{\frac{b}{x} = m} έχουμε \displaystyle{{m^2} - m - 1 = 0 \Rightarrow m = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2} = \varphi } άρα \displaystyle{\boxed{\frac{{PB}}{{PA}} = \phi }}
a.245.png
a.245.png (15.99 KiB) Προβλήθηκε 1097 φορές


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1644
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

#695

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Δευ Φεβ 13, 2017 7:02 pm

george visvikis έγραψε:Άσκηση 245

Ορθογώνια.245.png
Πάνω στις πλευρές AB, BC ορθογωνίου ABCD θεωρώ αντίστοιχα τα σημεία P, Q ώστε τα τρίγωνα

APD, PBQ, CDQ να είναι ισεμβαδικά. Να υπολογίσετε το λόγο \displaystyle\frac{PB}{PA}.
Εστω AP=x,QC=y,AD=b,AB=a

Τότε

2bx=ab-ay+xy,(1) 2ay=ab-bx+xy,(2), (1),(2)\Rightarrow ay=bx,x^{2}+a^{2}-3ax=0\Rightarrow \dfrac{a} 
 
{x}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}, \dfrac{PB}{PA}=\dfrac{a}{x}-1=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}



Γιάννης
Συνημμένα
Ασκηση  245.png
Ασκηση 245.png (36.15 KiB) Προβλήθηκε 1090 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9677
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

#696

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Φεβ 13, 2017 7:45 pm

Είναι η 193 , βλέπε εδώ


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9677
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

#697

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Απρ 08, 2017 11:53 am

Άσκηση 246
246.png
246.png (14.4 KiB) Προβλήθηκε 921 φορές
Η κάθετη BE από την κορυφή B προς τη διαγώνιο AC , τέμνει την προέκταση

της AD στο σημείο Z . Το ημικύκλιο διαμέτρου AZ , τέμνει την DC στο P ,

ενώ η ZP προεκτεινόμενη , τέμνει την BC στο S . Δείξτε ότι : SB=SP .


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1276
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

#698

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Σάβ Απρ 08, 2017 5:45 pm

KARKAR έγραψε:Άσκηση 246
246.png
Η κάθετη BE από την κορυφή B προς τη διαγώνιο AC , τέμνει την προέκταση

της AD στο σημείο Z . Το ημικύκλιο διαμέτρου AZ , τέμνει την DC στο P ,

ενώ η ZP προεκτεινόμενη , τέμνει την BC στο S . Δείξτε ότι : SB=SP .
Καλησπέρα Θανάση!

Το ZDEC είναι εγγράψιμο (\widehat{ZDC}=\widehat{ZEC}=90^0), άρα AD \cdot AZ=AE \cdot AC (1).

Στο ορθογώνιο τρίγωνο APZ είναι AP^2=AD \cdot AZ (2).

Στο ορθογώνιο BAC είναι AB^2=AE \cdot AC (3).

Από (1) , (2) , (3) είναι AP=AB.

Άρα, τα τρίγωνα PSA,SBA είναι ίσα (ορθογώνια, AP=AB, AS κοινή), οπότε PS=SB.


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9677
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

#699

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Μάιος 04, 2017 1:52 pm

Άσκηση 247
Άσκηση  247.png
Άσκηση 247.png (10.44 KiB) Προβλήθηκε 846 φορές
Από τις κορυφές B,D , ορθογωνίου ABCD , φέρουμε BB' , DD' \perp AC .

α) Υπολογίστε το εμβαδόν του τετραπλεύρου BB'DD' .

β) Για ποια τιμή του λόγου \dfrac{b}{a} , (b<a) , είναι \dfrac{(BB'DD')}{(ABCD)}=\dfrac{3}{5} ;

γ) Βρείτε ένα ορθογώνιο , όπου τα a,b , (ABCD) ,  (BB'DD') , είναι όλα ακέραιοι .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6719
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

#700

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Μάιος 05, 2017 12:18 am

KARKAR έγραψε:Άσκηση 247

Άσκηση 247.pngΑπό τις κορυφές B,D , ορθογωνίου ABCD , φέρουμε BB' , DD' \perp AC .

α) Υπολογίστε το εμβαδόν του τετραπλεύρου BB'DD' .

β) Για ποια τιμή του λόγου \dfrac{b}{a} , (b<a) , είναι \dfrac{(BB'DD')}{(ABCD)}=\dfrac{3}{5} ;

γ) Βρείτε ένα ορθογώνιο , όπου τα a,b , (ABCD) ,  (BB'DD') , είναι όλα ακέραιοι .
Ορθογώνια 247.png
Ορθογώνια 247.png (11.53 KiB) Προβλήθηκε 823 φορές
α) AB'=AC-x=\sqrt{a^2+b^2}-x και με Π. Θ στα τρίγωνα ADD', AB'B βρίσκω:

\displaystyle{{(DD')^2} = {b^2} - {x^2},{\left( {\sqrt {{a^2} + {b^2}}  - x} \right)^2} = {a^2} - {(BB')^2}\mathop  = \limits^{DD' = BB'} {a^2} - {b^2} + {x^2}}, απ' όπου τελικά παίρνω:

\displaystyle{x = \frac{{{b^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Rightarrow } \boxed{DD' = \frac{{ab}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} και \boxed{D'B' = \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}

\displaystyle{(BB'DD') = DD' \cdot D'B' \Leftrightarrow } \boxed{(BB'DD') = \frac{{ab({a^2} - {b^2})}}{{{a^2} + {b^2}}}}

β) \displaystyle{\frac{{{a^2} - {b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} = \frac{3}{5} \Leftrightarrow } \boxed{\dfrac{b}{a}=\dfrac{1}{2}}............γ) \boxed{a=10, b=5}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης