Ανάγωγα και μοναδιαία κλάσματα

KARKAR · #1

Έστωσαν

τρεις θετικοί ακέραιοι . Είναι γνωστό ότι το κλάσμα της μορφής $\displaystyle\frac{1}{a}$ , λέγεται μοναδιαίο κλάσμα .

Αν λοιπόν το $\displaystyle\frac{b}{c}$ , είναι ένα ανάγωγο κλάσμα , ας επινοήσουμε μια μέθοδο , ώστε να γράψουμε το δοθέν κλάσμα ,

ως άθροισμα αποκλειστικά μοναδιαίων και διαφορετικών μεταξύ τους κλασμάτων , και μάλιστα ο κάθε προσθετέος

να είναι ο μεγαλύτερος δυνατός .

* Γνωρίζει κανείς κάποια μελέτη , σχετικά με το αν η διαδικασία αυτή ολοκληρώνεται με πεπερασμένο αριθμό προσθετέων ?

Παράδειγμα : $\displaystyle\frac{4}{13}=\frac{1}{4}+\frac{1}{18}+\frac{1}{468}$

Γιώργος Απόκης · #2

Καλησπέρα Θανάση. Ένας γνωστός αλγόριθμος εδώ

#3

Νομίζω ότι είναι αρκετό ένα κλάσμα να μετατραπεί σε άθροισμα Αιγυπτιακών κλασμάτων.
Ίσως βοηθάει αυτό:
http://en.wikipedia.org/wiki/Greedy_alg ... _fractions
Μαυρογιάννης

Βλέπω ότι προηγήθηκε ο Γιώργος. Προσωπικά όταν βλέπω πολλές απαντήσεις το θεωρώ καλό σημάδι.

Αρχιμήδης 6 · #4

Θα δώσω μια προσέγγιση (Όχι λύση) για την ειδική περίπτωση όπου (b,c)=(4,c)

(Σήμερα ανακάλυψα το post αυτό.)

$\dfrac{4}{n}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}$

xy+yz+zx=4d

άρα με αντικατάσταση του

θα έχουμε την παρακάτω εξίσωση,

(xy)^2+(x+y)nd=4dxy

που μετασχηματίζεται στην παρακάτω

[(x+y)n]^2+(4xy-8d)^2=[8d-(x+y)n]^2

και από αυτό το σημείο με Πυθαγόρειες τριάδες μπορούμε να πάρουμε κάποιες χρήσιμες πληροφορίες.

Αν πχ

(x+y)n=m(u^2-v^2)

,

τότε

$x+y=\dfrac{m}{n}(u^2-v^2)$

$xy=\dfrac{mu}{2}(u+v)$

$z=\dfrac{nu}{2u+2v}$

$d=\dfrac{mu^2}{4}$ όπου (u,v)=1

Η λύση

που έγραψε ο Θανάσης προκύπτει από ,

m=162

,

Irakleidis · #5

Δείτε και αυτό
https://m.facebook.com/groups/119060981 ... 955899828/

#6

Irakleidis έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 18, 2021 7:33 pm
Δείτε και αυτό
https://m.facebook.com/groups/119060981 ... 955899828/

Το ερώτημα στον σύνδεσμο είναι τελείως τετριμμένο.

$\displaystyle{\frac{1}{3}=\frac{2}{6}=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}.}$

Περισσότερο ενδιαφέρον θα είχε να ζητηθεί, να βρεθούν όλοι οι φυσικοί $\displaystyle{x,y,}$ ώστε $\displaystyle{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{p},}$ όπου $\displaystyle{p}$ πρώτος, αλλά αυτό ξεφεύγει από το σχολικό πλαίσιο. Βέβαια αποτελεί γνωστότατη άσκηση διαγωνισμών.
Σε αυτό το πνεύμα ήταν το 3ο θέμα του Αρχιμήδη των Μικρών το 2017.

Ανάγωγα και μοναδιαία κλάσματα

Ανάγωγα και μοναδιαία κλάσματα

Re: Ανάγωγα και μοναδιαία κλάσματα

Re: Ανάγωγα και μοναδιαία κλάσματα

Re: Ανάγωγα και μοναδιαία κλάσματα

Re: Ανάγωγα και μοναδιαία κλάσματα

Re: Ανάγωγα και μοναδιαία κλάσματα

Μέλη σε σύνδεση