Υπολογισμός παράστασης
Συντονιστής: spyros
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Υπολογισμός παράστασης
Καλησπέρα!Καταπιάστηκα με αυτήν την άσκηση και μιλάμε...μου άρεσε!Ελπίζω να σας αρέσει και σε εσάς...
Να υπολογίσετε το άθροισμα:
\displaystyle
\frac{1}{{3^2 + 1}} + \frac{1}{{4^2 + 2}} + \frac{1}{{5^2 + 3}} + .....
Να υπολογίσετε το άθροισμα:
\displaystyle
\frac{1}{{3^2 + 1}} + \frac{1}{{4^2 + 2}} + \frac{1}{{5^2 + 3}} + .....
Χρήστος Κυριαζής
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Υπολογισμός παράστασης
Καλησπέρα και σε σένα Χρήστο!
Φαντάζομαι το άθροισμα είναι πεπερασμένο και φτάνει μέχρι το κι έτσι το ζητούμενο άθροισμα είναι το
Αλέξανδρος
Φαντάζομαι το άθροισμα είναι πεπερασμένο και φτάνει μέχρι το κι έτσι το ζητούμενο άθροισμα είναι το
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Υπολογισμός παράστασης
Αλέξανδρε,cretanman έγραψε:Καλησπέρα και σε σένα Χρήστο!
Φαντάζομαι το άθροισμα είναι πεπερασμένο και φτάνει μέχρι το κι έτσι το ζητούμενο άθροισμα είναι το
Αν όχι τότε ισούται με ολοκλήρωμα (θα το υπολογίσω εντός ολίγου) καθώς είναι άθροισμα Riemann συνάρτησης.
Αλέξανδρος
αν το άθροισμα έχει άπειρους όρους, τότε απλά παίρνεις όριο στο μερικό άθροισμα που βρήκες. Οι τρείς τελευταίοι όροι τείνουν στο 0. Μένει
.
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Re: Υπολογισμός παράστασης
Αλέξανδρε,δεν το έχει πεπερασμένο και είναι απο τα Harvard-MIT Mathematics Tournament 2003.
Χρήστος Κυριαζής
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Υπολογισμός παράστασης
Ναι έχετε δίκιο! Το κατάλαβα αμέσως μετά και το έσβησα αμέσως! Νομίζα ότι ήταν λίγο πιο περίεργο αλλά βγαίνει όντως με το όριο του μερικού αθροίσματος. Τί απροσεξία!Mihalis_Lambrou έγραψε:
Αλέξανδρε,
αν το άθροισμα έχει άπειρους όρους, τότε απλά παίρνεις όριο στο μερικό άθροισμα που βρήκες. Οι τρείς τελευταίοι όροι τείνουν στο 0. Μένει
.
Μια και το φερε η κουβέντα ας υπολογιστεί το
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Re: Υπολογισμός παράστασης
Aπαντώ στην άσκηση του Αλέξανδρου...
Βγάζοντας το n κοινό παράγοντα στον παρονομαστή,λαμβάνουμε:
\displaystyle
\frac{1}{{n(1 + \frac{1}{n})}} + \frac{1}{{n(1 + \frac{2}{n})}} + \frac{1}{{n(1 + \frac{3}{n})}} + ...... + \frac{1}{{n(1 + \frac{n}{n})}}
% MathType!MTEF!2!1!+-
% feqaeaartrvr0aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0l
% bbf9q8WrFfeuY-Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0-yr0R
% Yxir-Jbba9q8aq0-yq-He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGa
% caGaaeqabaaaamaaaOqaaiaadAgacaGGOaGaamiEaiaacMcacqGH9a
% qpdaWcaaqaaiaaigdaaeaacaaIXaGaey4kaSIaamiEaaaaaaa!3950!
στο [0,1] και διαμερίσουμε το διάστημα με διαμέριση \displaystyle
\Delta _\nu = \left\{ {0,\frac{1}{\nu },\frac{2}{\nu },\frac{3}{\nu },....\frac{\nu }{\nu }} \right\}
[unparseable or potentially dangerous latex formula]% MathType!MTEF!2!1!+-
% feqaeaartrvr0aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0l
% bbf9q8WrFfeuY-Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0-yr0R
% Yxir-Jbba9q8aq0-yq-He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGa
% caGaaeqabaaaamaaaOqaamaapehabaGaamOzaiaacIcacaWG4bGaai
% ykaiaadsgacaWG4baaleaacaaIWaaabaGaaGymaaqdcqGHRiI8aaaa
% !3AA9!
δηλαδή ln2.
Βγάζοντας το n κοινό παράγοντα στον παρονομαστή,λαμβάνουμε:
\displaystyle
\frac{1}{{n(1 + \frac{1}{n})}} + \frac{1}{{n(1 + \frac{2}{n})}} + \frac{1}{{n(1 + \frac{3}{n})}} + ...... + \frac{1}{{n(1 + \frac{n}{n})}}
% MathType!MTEF!2!1!+-
% feqaeaartrvr0aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0l
% bbf9q8WrFfeuY-Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0-yr0R
% Yxir-Jbba9q8aq0-yq-He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGa
% caGaaeqabaaaamaaaOqaaiaadAgacaGGOaGaamiEaiaacMcacqGH9a
% qpdaWcaaqaaiaaigdaaeaacaaIXaGaey4kaSIaamiEaaaaaaa!3950!
στο [0,1] και διαμερίσουμε το διάστημα με διαμέριση \displaystyle
\Delta _\nu = \left\{ {0,\frac{1}{\nu },\frac{2}{\nu },\frac{3}{\nu },....\frac{\nu }{\nu }} \right\}
[unparseable or potentially dangerous latex formula]% MathType!MTEF!2!1!+-
% feqaeaartrvr0aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0l
% bbf9q8WrFfeuY-Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0-yr0R
% Yxir-Jbba9q8aq0-yq-He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGa
% caGaaeqabaaaamaaaOqaamaapehabaGaamOzaiaacIcacaWG4bGaai
% ykaiaadsgacaWG4baaleaacaaIWaaabaGaaGymaaqdcqGHRiI8aaaa
% !3AA9!
δηλαδή ln2.
Χρήστος Κυριαζής
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Υπολογισμός παράστασης
Χρήστο,chris_gatos έγραψε:Καλησπέρα!Καταπιάστηκα με αυτήν την άσκηση και μιλάμε...μου άρεσε!
το πρώτο πράγμα που κάνουμε σε ένα άθροισμα, πεπερασμένο ή άπειρο, είναι να δούμε αν είναι τηλεσκοπικό.
Δηλαδή ρωτάμε κατα πόσο ο γενικός του όρος γράφεται ως . Σε αυτή την περίπτωση, η πρόσθεση κατά μέλη έχει
ως αποτέλεσμα να απλοποιηθούν όλοι οι όροι εκτός κάποιους ακριανούς.
Η τηλεσκοπική μέθοδος έχει πάρα πολλές εφαρμογές. Συχνά ανακαλύπτουμε το σπάσιμο του γενικού όρου κάνοντας ανάλυση σε
κλάσματα. Αυτό ακριβώς έκανε ο Αλέξανδρος.
Αλλά και σε μη κλάσματα μπορούμε να εργαστούμε επικερδώς.
Π.χ. για το άθροισμα 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ... + Ν(Ν+1)(Ν+2) λέμε ότι ο γενικός όρος k(k+1)(k+2) γράφεται
(βγάλε κοινό παράγοντα το k(k+1)(k+2) δεξιά, και θα το δεις αμέσως).
Όμοια μπορείς να βρεις αθροίσματα όπως
1.2.3.4 + 2.3.4.5 + 3.4.5.6 + ... + Ν(Ν+1)(Ν+2)(Ν+3)
1.2.3.4.5 + 2.3.4.5.6 + 3.4.5.6.7 + ... + Ν(Ν+1)(Ν+2)(Ν+3)(Ν+4) και λοιπά
Παρεμπιπτόντως, αν ανοίξεις τις παρενθέσεις στο k(k+1)(k+2), δηλαδή
και προσθέσεις κατα μέλη, θα βρείς το άθροισμα των κύβων με χρήση
των αθροισμάτων των και .
Όμοια το άνοιγμα των παρενθέσεων στο άθροισμα των k(k+1)(k+2)(k+3) θα σου δώσει το άθροισμα των και ούτω καθ' εξής.
Για τηλεσκοπικά με ανάλυση σε κλάσματα, ωραία παραδείγματα είναι να βρεις τα αθροίσματα με γενικούς
όρους, π.χ. , και λοιπά.
Καλό διάβασμα.
Φιλικά,
Μιχάλης Λάμπρου.
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Re: Υπολογισμός παράστασης
Έχετε δίκιο Κυριε Λάμπρου... Εγώ απλά απάντησα γιατί... ξανακοίταξα την άσκηση, μήπως και την έδωσα λάθος...
(Ξαναλέω, χιουμοριστικά, πως έχω μια τάση να ξεχνάω τελίτσες με πολύ οδυνηρές συνέπειες για εμένα). Ορθώς έπραξε ο Αλέξανδρος, ο οποίος για την ηλικία του θεωρώ οτι είναι καταπληκτικός μαθηματικός και πως έχει πετύχει πάρα πολλά
ήδη... Φυσικά, έπεται και συνέχεια!
(Ξαναλέω, χιουμοριστικά, πως έχω μια τάση να ξεχνάω τελίτσες με πολύ οδυνηρές συνέπειες για εμένα). Ορθώς έπραξε ο Αλέξανδρος, ο οποίος για την ηλικία του θεωρώ οτι είναι καταπληκτικός μαθηματικός και πως έχει πετύχει πάρα πολλά
ήδη... Φυσικά, έπεται και συνέχεια!
Χρήστος Κυριαζής
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Υπολογισμός παράστασης
Πίστεψέ με ότι, εκτός από χαρισματικός μαθηματικός, ο Αλέξανδρος είναι άνθρωπος με ήθοςchris_gatos έγραψε: ο Αλέξανδρος, ο οποίος για την ηλικία του θεωρώ οτι είναι καταπληκτικός μαθηματικός
και σπάνιες αρετές.
Μιχάλης Λάμπρου
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες