τύπος του cauchy

Συντονιστής: spyros

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6855
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

τύπος του cauchy

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τρί Δεκ 30, 2008 11:07 pm

Καλησπέρα σας...Στο βιβλίο του ο Τοm Apostol λέει:
α) Αν f,g συνεχείς στο [α,β],να αποδείξετε με τον τύπο του Cauchy,οτι για κάποιο c στο (α,β) είναι
% MathType!MTEF!2!1!+- 
% feqaeaartrvr0aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn 
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0l 
% bbf9q8WrFfeuY-Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0-yr0R 
% Yxir-Jbba9q8aq0-yq-He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGa 
% caGaaeqabaaaamaaaOqaaiaadEgacaGGOaGaam4yaiaacMcadaWdXb 
% qaaiaadAgacaGGOaGaamiDaiaacMcacaWGKbGaamiDaiabg2da9iaa 
% dAgacaGGOaGaam4yaiaacMcadaWdXbqaaiaadEgacaGGOaGaamiDai 
% aacMcacaWGKbGaamiDaaWcbaGaamyyaaqaaiabek7aIbqdcqGHRiI8 
% aaWcbaGaamyyaaqaaiabek7aIbqdcqGHRiI8aaaa!4D22! 
\displaystyle
g(c)\int\limits_a^\beta {f(t)dt = f(c)\int\limits_a^\beta {g(t)dt} }
\displaystyle{.(ως εδώ,όλα καλά) 
β)Αν % MathType!MTEF!2!1!+-
% feqaeaartrvr0aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0l
% bbf9q8WrFfeuY-Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0-yr0R
% Yxir-Jbba9q8aq0-yq-He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGa
% caGaaeqabaaaamaaaOqaaiaadEgacaGGOaGaamiDaiaacMcacqGHGj
% sUcaaIWaaaaa!3763!
\displaystyle  
g(t) \ne 0 
} για κάθε t στο (α,β) χρησιμοποιήστε το α) για να δείξετε ότι:
% MathType!MTEF!2!1!+- 
% feqaeaartrvr0aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn 
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0l 
% bbf9q8WrFfeuY-Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0-yr0R 
% Yxir-Jbba9q8aq0-yq-He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGa 
% caGaaeqabaaaamaaaOqaamaapehabaGaamOzaiaacIcacaWG0bGaai 
% ykaiaadEgacaGGOaGaamiDaiaacMcacaWGKbGaamiDaiabg2da9iaa 
% dAgacaGGOaGaam4yaiaacMcadaWdXbqaaiaadEgacaGGOaGaamiDai 
% aacMcacaWGKbGaamiDaaWcbaGaamyyaaqaaiabek7aIbqdcqGHRiI8 
% aaWcbaGaamyyaaqaaiabek7aIbqdcqGHRiI8aaaa!4D33! 
\displaystyle
\int\limits_a^\beta {f(t)g(t)dt = f(c)\int\limits_a^\beta {g(t)dt} }
\displaystyle{ για  κάποιο c στο (α,β).Το ερώτημα μου είναι % MathType!MTEF!2!1!+-
% feqaeaartrvr0aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0l
% bbf9q8WrFfeuY-Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0-yr0R
% Yxir-Jbba9q8aq0-yq-He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGa
% caGaaeqabaaaamaaaOqaaiaadEgacaGGOaGaamiDaiaacMcacqGHGj
% sUcaaIWaaaaa!3763!
\displaystyle  
g(t) \ne 0 
} ή % MathType!MTEF!2!1!+- 
% feqaeaartrvr0aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn 
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0l 
% bbf9q8WrFfeuY-Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0-yr0R 
% Yxir-Jbba9q8aq0-yq-He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGa 
% caGaaeqabaaaamaaaOqaaiaadEgacaGGOaGaamiDaiaacMcacqGH+a 
% GpcaaIWaaaaa!36A4! 
\displaystyle
g(t) > 0
;;


Χρήστος Κυριαζής
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11929
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: τύπος του cauchy

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Δεκ 31, 2008 12:15 am

chris_gatos έγραψε:Καλησπέρα σας...Στο βιβλίο του ο Τοm Apostol λέει:
α) Αν f,g συνεχείς στο [α,β],να αποδείξετε με τον τύπο του Cauchy,οτι για κάποιο c στο (α,β) είναι
% MathType!MTEF!2!1!+- 
% feqaeaartrvr0aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn 
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0l 
% bbf9q8WrFfeuY-Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0-yr0R 
% Yxir-Jbba9q8aq0-yq-He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGa 
% caGaaeqabaaaamaaaOqaaiaadEgacaGGOaGaam4yaiaacMcadaWdXb 
% qaaiaadAgacaGGOaGaamiDaiaacMcacaWGKbGaamiDaiabg2da9iaa 
% dAgacaGGOaGaam4yaiaacMcadaWdXbqaaiaadEgacaGGOaGaamiDai 
% aacMcacaWGKbGaamiDaaWcbaGaamyyaaqaaiabek7aIbqdcqGHRiI8 
% aaWcbaGaamyyaaqaaiabek7aIbqdcqGHRiI8aaaa!4D22! 
\displaystyle
g(c)\int\limits_a^\beta {f(t)dt = f(c)\int\limits_a^\beta {g(t)dt} }
\displaystyle{.(ως εδώ,όλα καλά) 
β)Αν % MathType!MTEF!2!1!+-
% feqaeaartrvr0aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0l
% bbf9q8WrFfeuY-Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0-yr0R
% Yxir-Jbba9q8aq0-yq-He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGa
% caGaaeqabaaaamaaaOqaaiaadEgacaGGOaGaamiDaiaacMcacqGHGj
% sUcaaIWaaaaa!3763!
\displaystyle  
g(t) \ne 0 
} για κάθε t στο (α,β) χρησιμοποιήστε το α) για να δείξετε ότι:
% MathType!MTEF!2!1!+- 
% feqaeaartrvr0aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn 
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0l 
% bbf9q8WrFfeuY-Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0-yr0R 
% Yxir-Jbba9q8aq0-yq-He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGa 
% caGaaeqabaaaamaaaOqaamaapehabaGaamOzaiaacIcacaWG0bGaai 
% ykaiaadEgacaGGOaGaamiDaiaacMcacaWGKbGaamiDaiabg2da9iaa 
% dAgacaGGOaGaam4yaiaacMcadaWdXbqaaiaadEgacaGGOaGaamiDai 
% aacMcacaWGKbGaamiDaaWcbaGaamyyaaqaaiabek7aIbqdcqGHRiI8 
% aaWcbaGaamyyaaqaaiabek7aIbqdcqGHRiI8aaaa!4D33! 
\displaystyle
\int\limits_a^\beta {f(t)g(t)dt = f(c)\int\limits_a^\beta {g(t)dt} }
\displaystyle{ για  κάποιο t στο (α,β).Το ερώτημα μου είναι % MathType!MTEF!2!1!+-
% feqaeaartrvr0aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0l
% bbf9q8WrFfeuY-Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0-yr0R
% Yxir-Jbba9q8aq0-yq-He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGa
% caGaaeqabaaaamaaaOqaaiaadEgacaGGOaGaamiDaiaacMcacqGHGj
% sUcaaIWaaaaa!3763!
\displaystyle  
g(t) \ne 0 
} ή % MathType!MTEF!2!1!+- 
% feqaeaartrvr0aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn 
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0l 
% bbf9q8WrFfeuY-Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0-yr0R 
% Yxir-Jbba9q8aq0-yq-He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGa 
% caGaaeqabaaaamaaaOqaaiaadEgacaGGOaGaamiDaiaacMcacqGH+a 
% GpcaaIWaaaaa!36A4! 
\displaystyle
g(t) > 0
;;
Χρήστο,

To g(x) =/= 0 μας κάνει: Εφαρμόζουμε το (α) στις F(x) = f(x)g(x) και G(x) = g(x).
Στο τελευταίο βήμα θα χρειαστεί να διαιρέσεις δια g(c).

Πίστεύω ότι αν απόδείξεις το (β) στην ειδική περίπτωση g(x) > 0 βγαίνει ούτως ή άλλως ως πόρισμα το γενικό: Αν g(x) =/= 0 στο ανοικτό (α,β) τότε χωρίς βλάβη g(x) > 0 στο ανοικτό.

Φιλικά,

Μιχάλης.


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6855
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Re: τύπος του cauchy

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τετ Δεκ 31, 2008 12:28 am

Ευχαριστώ κυριε Λάμπρου...Απλά είχα κολλήσει με το g(χ)>0,γιατί επιχειρούσα να το αποδείξω με θεώρημα μέγιστης-ελάχιστης τιμής για την f στο [α,β] και μου ήταν αναγκαίο (το g(x)>0)...


Χρήστος Κυριαζής
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης