Αναζήτηση Καθαρόαιμης Γεωμετρικής Λύσης 2

[makman94]

Καλησπέρα σε όλους,
Στο παρακάτω θέμα (δείτε σχήμα) έχουμε δύο ίσους κύκλους και έναν τρίτο που εφάπτονται εξωτερικά.
Αναζητούμε σημείο Κ εντός της σκιαγραφημένης περιοχής που να ισαπέχει από τους τρεις κύκλους.
Το θέμα έχει λυθεί με μια όχι καθαρόαιμη γεωμετρική λύση (η απάντηση φαίνεται στην εικόνα) αλλά θα είχε πολύ περισσότερο ενδιαφέρον μια καθαρόαιμη γεωμετρική λύση.

[makman94]

Καλησπέρα σε όλους,
Βρήκα μια καθαρόαιμη γεωμετρική λύση και σας την παραθέτω (αν κάποιος βρει κάποια άλλη παρακαλώ να την μοιραστεί).

Μελετώντας τον αλγεβρικό τύπο της λύσης, παρατήρησα ότι μπορεί να γραφεί ως εξής:

όπου .
Η ποσότητα εκφράζει το ευθ.τμ. συνεπώς όλη η ιδέα της λύσης στηρίζεται στην κατασκευή των τμημάτων σε ένα τρίγωνο.
Με κέντρο το σημείο και ακτίνα το διαγράφουμε τον κύκλο και έστω και τα σημεία που αυτός τέμνει το ευθ.τμ. .
Έχουμε λοιπόν ότι και .
Από το σημείο φέρουμε ημιευθεία και επαυτής σημείο τέτοιο ώστε . Φέρουμε το και από το φέρουμε .
Από το τρίγωνο έχουμε .
Συνεπώς το ευθ.τμ. είναι η ζητούμενη απόσταση που ισαπέχει το ζητούμενο σημείο από τους τρεις κύκλους.
Γνωρίζοντας ότι το σημείο ανήκει στην μεσοκάθετο του (), φέρουμε την και από το φέρουμε παράλληλη προς την . Το σημείο που αυτή η παράλληλη τέμνει την είναι το σημείο που αναζητούμε.

υσ: Λέτε να είναι επιλύσιμο το ίδιο πρόβλημα αλλά και με τους τρεις κύκλους άνισους;

[vittasko]

Στο προηγούμενο σχήμα, το σημείο προκύπτει επίσης ως το σημείο τομής της από την μεσοκάθετη ευθεία του τμήματος , όπου το σημείο μεταξύ των ώστε να είναι .

Κώστας Βήττας.

[makman94]

Στο προηγούμενο σχήμα, το σημείο προκύπτει επίσης ως το σημείο τομής της από την μεσοκάθετη ευθεία του τμήματος , όπου το σημείο μεταξύ των ώστε να είναι .

Κώστας Βήττας.

Τελικά ήταν πολύ ευκολότερο Θέμα !
Με "κατέστρεψε" ο Πυθαγόρας και το πήγα μέσω Βρυξελλών!

Σε ευχαριστώ Κώστα!

Υσ: Για την περίπτωση των τριών άνισων κύκλων...έχουμε καμία ιδέα;

[vittasko]

Υσ: Για την περίπτωση των τριών άνισων κύκλων...έχουμε καμία ιδέα;

Μία σκέψη είναι ίσως με Αντιστροφή του σχήματος, στην περίπτωση τριών άνισων κύκλων, έτσι ώστε τα αντίστροφα των δύο κύκλων να είναι κύκλοι και το αντίστροφο του τρίτου κύκλου να είναι ευθεία.

Έχει συζητηθεί παλιότερα στο φόρουμ ( Εδώ ) η περίπτωση που αφορά στο αντίστροφο σχήμα ( δύο άνισοι κύκλοι εφαπτόμενοι και μία κοινή εξωτερική εφαπτομένη τους ) και είχε δοθεί η κατασκευή του αντίστοιχου κύκλου , χωρίς απαραίτητα να έχει υπολογιστεί η ακτίνα του.

Δεν είμαι εξοικειωμένος με την Αντιστροφή και δεν έχω χρόνο για να προσπαθήσω μία λύση με τέτοια προσέγγιση.

Κώστας Βήττας.