Ανάγωγα και μοναδιαία κλάσματα

Συντονιστής: spyros

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12328
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ανάγωγα και μοναδιαία κλάσματα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Ιαν 30, 2012 9:18 pm

Έστωσαν a , b , c τρεις θετικοί ακέραιοι . Είναι γνωστό ότι το κλάσμα της μορφής \displaystyle\frac{1}{a} , λέγεται μοναδιαίο κλάσμα .

Αν λοιπόν το \displaystyle\frac{b}{c} , είναι ένα ανάγωγο κλάσμα , ας επινοήσουμε μια μέθοδο , ώστε να γράψουμε το δοθέν κλάσμα ,

ως άθροισμα αποκλειστικά μοναδιαίων και διαφορετικών μεταξύ τους κλασμάτων , και μάλιστα ο κάθε προσθετέος

να είναι ο μεγαλύτερος δυνατός .

* Γνωρίζει κανείς κάποια μελέτη , σχετικά με το αν η διαδικασία αυτή ολοκληρώνεται με πεπερασμένο αριθμό προσθετέων ?

Παράδειγμα : \displaystyle\frac{4}{13}=\frac{1}{4}+\frac{1}{18}+\frac{1}{468}


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Ανάγωγα και μοναδιαία κλάσματα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Δευ Ιαν 30, 2012 9:28 pm

Καλησπέρα Θανάση. Ένας γνωστός αλγόριθμος εδώ


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4341
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Ανάγωγα και μοναδιαία κλάσματα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Δευ Ιαν 30, 2012 9:32 pm

Νομίζω ότι είναι αρκετό ένα κλάσμα να μετατραπεί σε άθροισμα Αιγυπτιακών κλασμάτων.
Ίσως βοηθάει αυτό:
http://en.wikipedia.org/wiki/Greedy_alg ... _fractions
Μαυρογιάννης

Βλέπω ότι προηγήθηκε ο Γιώργος. Προσωπικά όταν βλέπω πολλές απαντήσεις το θεωρώ καλό σημάδι.


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Άβαταρ μέλους
Αρχιμήδης 6
Δημοσιεύσεις: 1203
Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ

Re: Ανάγωγα και μοναδιαία κλάσματα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Αρχιμήδης 6 » Δευ Νοέμ 24, 2014 5:41 pm

Θα δώσω μια προσέγγιση (Όχι λύση) για την ειδική περίπτωση όπου (b,c)=(4,c) (Σήμερα ανακάλυψα το post αυτό.)

\dfrac{4}{n}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}

xy+yz+zx=4d

xyz=nd άρα με αντικατάσταση του z θα έχουμε την παρακάτω εξίσωση,

(xy)^2+(x+y)nd=4dxy που μετασχηματίζεται στην παρακάτω

[(x+y)n]^2+(4xy-8d)^2=[8d-(x+y)n]^2 και από αυτό το σημείο με Πυθαγόρειες τριάδες μπορούμε να πάρουμε κάποιες χρήσιμες πληροφορίες.

Αν πχ

(x+y)n=m(u^2-v^2) , 4xy-8d=2muv ,8d-(x+y)n=m(u^2+v^2) τότε

x+y=\dfrac{m}{n}(u^2-v^2)

xy=\dfrac{mu}{2}(u+v)

z=\dfrac{nu}{2u+2v}

d=\dfrac{mu^2}{4} όπου (u,v)=1

Η λύση (4,18,468) που έγραψε ο Θανάσης προκύπτει από ,

m=162 ,u=8 , v=5


Ξεπέρασε τον εαυτό σου.
Κανένα πρόβλημα δεν μπορεί να σε νικήσει.Εμείς το εντοπίζουμε εμείς το λύνουμε!
Φιλοσοφία είναι η λύτρωση του ανθρώπου από τις αποτυχίες του.
Κανακάρης Δημήτριος.
Irakleidis
Δημοσιεύσεις: 5
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 4:37 pm

Re: Ανάγωγα και μοναδιαία κλάσματα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Irakleidis » Πέμ Φεβ 18, 2021 7:33 pm



Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6296
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Ανάγωγα και μοναδιαία κλάσματα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Παρ Φεβ 19, 2021 1:50 pm

Irakleidis έγραψε:
Πέμ Φεβ 18, 2021 7:33 pm
Δείτε και αυτό
https://m.facebook.com/groups/119060981 ... 955899828/
Το ερώτημα στον σύνδεσμο είναι τελείως τετριμμένο.

\displaystyle{\frac{1}{3}=\frac{2}{6}=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}.}

Περισσότερο ενδιαφέρον θα είχε να ζητηθεί, να βρεθούν όλοι οι φυσικοί \displaystyle{x,y,} ώστε \displaystyle{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{p},} όπου \displaystyle{p} πρώτος, αλλά αυτό ξεφεύγει από το σχολικό πλαίσιο. Βέβαια αποτελεί γνωστότατη άσκηση διαγωνισμών.
Σε αυτό το πνεύμα ήταν το 3ο θέμα του Αρχιμήδη των Μικρών το 2017.
Συνημμένα
Archimedes17.png
Archimedes17.png (16.67 KiB) Προβλήθηκε 56 φορές


Μάγκος Θάνος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες