εικόνα

Λάμπρος Μπαλός · #1

e^{-x}Β.png

Λάμπρος Μπαλός · #2

Μπορεί να μου πει κάποιος πώς μπορώ να μικρύνω το μέγεθος της εικόνας;

KARKAR · #3

: δίχρωμο.png (9 KiB) Προβλήθηκε 2528 φορές

Ένας τρόπος είναι να αλλάξεις την "Ανάλυση σε dpi " . Δοκίμασε !

Αν υποθέσουμε ότι είναι και άσκηση , έχει όντως κάτι "ωραίο" στο τέλος ή μόνον ανιαρές πράξεις ;

Λάμπρος Μπαλός · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 05, 2021 7:15 pm
δίχρωμο.pngΈνας τρόπος είναι να αλλάξεις την "Ανάλυση σε dpi " . Δοκίμασε !

Αν υποθέσουμε ότι είναι και άσκηση , έχει όντως κάτι "ωραίο" στο τέλος ή μόνον ανιαρές πράξεις ;

Ανάλυση σε dpi.

Ναι. Η άσκηση που φαίνεται στέκει. Η λύση μου δεν έχει πολλές πράξεις.

Christos.N · #5

$e^{-x}Β.png$: e^{-x}Β.png (161.85 KiB) Προβλήθηκε 2510 φορές

$e^{-x}Β.png$: e^{-x}Β.png (49.87 KiB) Προβλήθηκε 2510 φορές

Λάμπρο τις ανοίγω με ένα πρόγραμμα φωτογραφιών και αλλάζω τις διαστάσεις.

Λάμπρος Μπαλός · #6

$e^{-x}μικρή.png$: e^{-x}μικρή.png (24.62 KiB) Προβλήθηκε 2507 φορές

Λάμπρος Μπαλός · #7

Τελικά ήταν πολύ απλό. Ευχαριστώ πολύ.

KARKAR · #8

: δίχρωμο.png (11.18 KiB) Προβλήθηκε 2449 φορές

Λόγω του κοινού τμήματος (ACD)

, αρκεί :

, δηλαδή $e^{-e}(e-2)<e^{-\pi}(\pi-2)$ .

Δυστυχώς η συνάρτηση : $f(x)=e^{-x}(x-2)$ , ως έχουσα παράγωγο : $-e^{-x}(x-3)$

δεν είναι γνησίως μονότονη στο $\left[e,\pi\right]$ κι έτσι δεν έχουμε την "καλή" απάντηση ...

Λάμπρος Μπαλός · #9

Ναι, δεν βγαίνει τόσο άμεσα. Σε αυτές συνήθως σπάμε το κεφάλι μας να βρούμε την κατάλληλη συνάρτηση. Δεν μπορώ να πω ότι μου αρέσει η όλη διαδικασία παρά που , αν τύχει να τη βγάλω, σαφώς και νιώθω ικανοποίηση.
Η παραπάνω άσκηση αποτελεί ερώτημα ολόκληρης άσκησης την οποία θα βάλω αργότερα (σε αυτό το ποστ, ως απάντηση) και έχει το ύφος των θεμάτων που μου αρέσουν.

Λάμπρος Μπαλός · #10

: karkar.png (40.92 KiB) Προβλήθηκε 2421 φορές

Εντελώς ενημερωτικά, υπάρχει και εδώ

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#11

Αλλιώς: Θέλουμε να δείξουμε ότι $(e-2)e^{-e} < (\pi -2)e^{-\pi}$ .

Κάπου θα χρησιμοποιήσω και την $0< \pi -3 <3-e$ (οι τιμές τους είναι περί τα 0,141

και

, αντίστοιχα)

Θέτουμε $f(x)=(x-2)e^{-x}$ , οπότε $\displaystyle{f'(x) = (3-x)e^{-x},\, f''(x) = (x-4)e^{-x},\, f'''(x) = (5-x)e^{-x}}$ . Από την τελευταία συμπεραίνουμε ότι στο [0,5]

η

είναι γν. αύξουσα.

Ως γνωστόν (απλή άσκηση στο ΘΜΤ) υπάρχει

μεταξύ των

και

, τέτοιο ώστε

$f(x) - f(3) = f'(3)(x-3) + \frac {1}{2}f''(t)(x-3)^2 = 0 + \frac {1}{2}f''(t)(x-3)^2$

Ειδικά για τα

και $\pi$ υπάρχουν $e<\xi _{e} <3 < \xi _{\pi} <\pi$ τέτοια ώστε

$f(e) - f(3) = \frac {1}{2}f''(\xi _{e} )(e-3)^2$ και $f(\pi ) - f(3) = \frac {1}{2}f''(\xi _{\pi} )(\pi-3)^2$ .

Υπόψη όμως ότι η f''

είναι γν. αύξουσα στο διάστημά μας, άρα $\displaystyle{f''(\xi _{e}) < f'' (\xi _{\pi} ) <0}$ (το αρνητικό που μόλις έγραψα προκύπτει από την $f''(x) = (x-4)e^{-x}$ και την $\pi <4$ .

Άρα

$f(e) - f(3) = \frac {1}{2}f''(\xi _{e} )(e-3)^ 2 < \frac {1}{2}f''(\xi _{\pi} )(e-3)^ 2 =$

$= \frac {1}{2}f''(\xi _{\pi} )(3-e)^ 2 <\frac {1}{2}f''(\xi _{\pi} )(\pi-3)^ 2 = f(\pi) -f(3)$

Τελικά $f(e)<f(\pi)$ , όπως θέλαμε.

#12

Τώρα βλέπω ότι στο ποστ #

προτρέπει την μελέτη της συνάρτησης $\displaystyle{f(x) = \ln x -\dfrac {2(x-1)}{x+1}}$ και δίνεται μία παραπομπή για την άσκηση.

Επειδή στην παραπομπή δεν βλέπω λύση (κάνω λάθος;) ας συνεχίσω εδώ για να κλείνει το θέμα, αν και με τις υποδείξεις στο παραπάνω ποστ, το θέμα είναι σχεδόν εξαντλημένο.

Όπως και να είναι, το πρώτο αποδεικτέο, ότι δηλαδή $\displaystyle{\xi \in \left ( a, \dfrac {a+b}{2} \right ) }$ υπάρχει
εδώ.

Παίρνοντας τώρα $b=\pi -2,\, a=e-2$ , έχουμε $\dfrac {a+b}{2} = \dfrac {\pi + e-4}{2} < \dfrac {6-4}{2} =1$ (καθώς $\pi + e \approx 3,141 + 2.718 = 5,863 <6$ ) οπότε έχουμε

$\displaystyle{ \dfrac {(\pi -2) -(e-2)}{\ln (\pi -2) - \ln (e-2)} = \dfrac {b-a}{\ln b - \ln a} = \xi <1}$ , ισοδύναμα

$\displaystyle{\pi - e < \ln \dfrac {\pi -2}{e-2}}$ , οπότε $e^{\pi - e} < \dfrac {\pi -2}{e-2}$ , από όπου η ζητούμενη.

Λάμπρος Μπαλός · #13

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 08, 2021 6:33 pm
Τώρα βλέπω ότι στο ποστ # προτρέπει την μελέτη της συνάρτησης $\displaystyle{f(x) = \ln x -\dfrac {2(x-1)}{x+1}}$ και δίνεται μία παραπομπή για την άσκηση.

Επειδή στην παραπομπή δεν βλέπω λύση (κάνω λάθος;) ας συνεχίσω εδώ για να κλείνει το θέμα, αν και με τις υποδείξεις στο παραπάνω ποστ, το θέμα είναι σχεδόν εξαντλημένο.

Όπως και να είναι, το πρώτο αποδεικτέο, ότι δηλαδή $\displaystyle{\xi \in \left ( a, \dfrac {a+b}{2} \right ) }$ υπάρχει
εδώ.

Παίρνοντας τώρα $b=\pi -2,\, a=e-2$ , έχουμε $\dfrac {a+b}{2} = \dfrac {\pi + e-4}{2} < \dfrac {6-4}{2} =1$ (καθώς $\pi + e \approx 3,141 + 2.718 = 5,863 <6$ ) οπότε έχουμε

$\displaystyle{ \dfrac {(\pi -2) -(e-2)}{\ln (\pi -2) - \ln (e-2)} = \dfrac {b-a}{\ln b - \ln a} = \xi <1}$ , ισοδύναμα

$\displaystyle{\pi - e < \ln \dfrac {\pi -2}{e-2}}$ , οπότε $e^{\pi - e} < \dfrac {\pi -2}{e-2}$ , από όπου η ζητούμενη.

Κατ' αρχάς ευχαριστώ πολύ για τη λύση.
Όχι, δεν κάνετε λάθος. Δεν έχω βάλει τη λύση ακόμη, δεν πρόλαβα.
Καλή χρονιά να έχετε.

#14

Άλλη λύση στο ίδιο μήκος κύματος με (φαινομενικά) άλλη συνάρτηση.

Για την $f(x) = \dfrac {2+x}{2-x}e^{-x}$ στο [0,2)

έχουμε $f'(x) = \dfrac {x^2e^{-x}}{x-2)^2} >0$ , άρα είναι γν. αύξουσα. Άρα f(x) > f(0)

, δηλαδή

$\dfrac {2+x}{2-x}e^{-x} > 1\, (*)$ . Επιλέγουμε το

που δίνει $\dfrac {2+x}{2-x}= \dfrac {\pi -2}{e-2}$ , συγκεκριμένα $x= \dfrac {2+x}{2-x}= (\pi -e) \dfrac {2}{\pi +e-4}$ (ίσον περίπου 0,455

έρα μέσα στο διάστημα.

Παρατηρούμε ακόμη ότι $\displaystyle{ \dfrac {2}{\pi +e-4}> 1}$ . Άρα από αυτήν και την (*)

έχουμε

$\displaystyle{ \dfrac {\pi -2}{e-2}e^{-(\pi -e) } > \dfrac {\pi -2}{e-2}e^{-\frac {2(\pi -e)}{\pi +e-4} } = \dfrac {2+x}{2-x}e^{-x} > 1}$ , από όπου η ζητούμενη (και μάλιστα λίγο ισχυρότερη).

εικόνα

εικόνα

Re: εικόνα

Re: εικόνα

Re: εικόνα

Re: εικόνα

Re: εικόνα

Re: εικόνα

Re: εικόνα

Re: εικόνα

Re: εικόνα

Re: εικόνα

Re: εικόνα

Re: εικόνα

Re: εικόνα

Μέλη σε σύνδεση