εικόνα

Εδώ μπορούν να γίνουν δοκιμές γραφής μαθηματικού περιεχομένου με τη βοήθεια του TeX
Άβαταρ μέλους
Λάμπρος Μπαλός
Δημοσιεύσεις: 941
Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

εικόνα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Μπαλός » Τρί Ιαν 05, 2021 5:22 pm

e^{-x}Β.png
Συνημμένα
e^{-x}Β.png
e^{-x}Β.png (71.93 KiB) Προβλήθηκε 618 φορές


Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Λάμπρος Μπαλός
Δημοσιεύσεις: 941
Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: εικόνα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Μπαλός » Τρί Ιαν 05, 2021 5:28 pm

Μπορεί να μου πει κάποιος πώς μπορώ να μικρύνω το μέγεθος της εικόνας;


Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12328
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: εικόνα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Ιαν 05, 2021 7:15 pm

δίχρωμο.png
δίχρωμο.png (9 KiB) Προβλήθηκε 582 φορές
Ένας τρόπος είναι να αλλάξεις την "Ανάλυση σε dpi " . Δοκίμασε !

Αν υποθέσουμε ότι είναι και άσκηση , έχει όντως κάτι "ωραίο" στο τέλος ή μόνον ανιαρές πράξεις ;


Άβαταρ μέλους
Λάμπρος Μπαλός
Δημοσιεύσεις: 941
Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: εικόνα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Μπαλός » Τρί Ιαν 05, 2021 7:38 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Ιαν 05, 2021 7:15 pm
δίχρωμο.pngΈνας τρόπος είναι να αλλάξεις την "Ανάλυση σε dpi " . Δοκίμασε !

Αν υποθέσουμε ότι είναι και άσκηση , έχει όντως κάτι "ωραίο" στο τέλος ή μόνον ανιαρές πράξεις ;
Ανάλυση σε dpi. :?

Ναι. Η άσκηση που φαίνεται στέκει. Η λύση μου δεν έχει πολλές πράξεις.


Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1904
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: εικόνα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Τρί Ιαν 05, 2021 7:45 pm

e^{-x}Β.png
e^{-x}Β.png (161.85 KiB) Προβλήθηκε 564 φορές
e^{-x}Β.png
e^{-x}Β.png (49.87 KiB) Προβλήθηκε 564 φορές
Λάμπρο τις ανοίγω με ένα πρόγραμμα φωτογραφιών και αλλάζω τις διαστάσεις.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Άβαταρ μέλους
Λάμπρος Μπαλός
Δημοσιεύσεις: 941
Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: εικόνα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Μπαλός » Τρί Ιαν 05, 2021 7:50 pm

e^{-x}μικρή.png
e^{-x}μικρή.png (24.62 KiB) Προβλήθηκε 561 φορές


Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com
Άβαταρ μέλους
Λάμπρος Μπαλός
Δημοσιεύσεις: 941
Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: εικόνα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Μπαλός » Τρί Ιαν 05, 2021 7:51 pm

Τελικά ήταν πολύ απλό. Ευχαριστώ πολύ.


Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12328
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: εικόνα

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Ιαν 06, 2021 10:32 am

δίχρωμο.png
δίχρωμο.png (11.18 KiB) Προβλήθηκε 503 φορές
Λόγω του κοινού τμήματος (ACD) , αρκεί : (ADB)<(AEZ) , δηλαδή e^{-e}(e-2)<e^{-\pi}(\pi-2) .

Δυστυχώς η συνάρτηση : f(x)=e^{-x}(x-2) , ως έχουσα παράγωγο : -e^{-x}(x-3)

δεν είναι γνησίως μονότονη στο  \left[e,\pi\right] κι έτσι δεν έχουμε την "καλή" απάντηση ...


Άβαταρ μέλους
Λάμπρος Μπαλός
Δημοσιεύσεις: 941
Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: εικόνα

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Μπαλός » Τετ Ιαν 06, 2021 12:27 pm

Ναι, δεν βγαίνει τόσο άμεσα. Σε αυτές συνήθως σπάμε το κεφάλι μας να βρούμε την κατάλληλη συνάρτηση. Δεν μπορώ να πω ότι μου αρέσει η όλη διαδικασία παρά που , αν τύχει να τη βγάλω, σαφώς και νιώθω ικανοποίηση.
Η παραπάνω άσκηση αποτελεί ερώτημα ολόκληρης άσκησης την οποία θα βάλω αργότερα (σε αυτό το ποστ, ως απάντηση) και έχει το ύφος των θεμάτων που μου αρέσουν.


Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com
Άβαταρ μέλους
Λάμπρος Μπαλός
Δημοσιεύσεις: 941
Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: εικόνα

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Μπαλός » Τετ Ιαν 06, 2021 12:49 pm

karkar.png
karkar.png (40.92 KiB) Προβλήθηκε 475 φορές
Εντελώς ενημερωτικά, υπάρχει και εδώ


Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13158
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: εικόνα

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Ιαν 07, 2021 10:38 pm

Αλλιώς: Θέλουμε να δείξουμε ότι (e-2)e^{-e} < (\pi -2)e^{-\pi}.

Κάπου θα χρησιμοποιήσω και την 0< \pi -3 <3-e (οι τιμές τους είναι περί τα 0,141 και 0,282, αντίστοιχα)

Θέτουμε f(x)=(x-2)e^{-x}, οπότε \displaystyle{f'(x) = (3-x)e^{-x},\, f''(x) = (x-4)e^{-x},\, f'''(x) = (5-x)e^{-x}}. Από την τελευταία συμπεραίνουμε ότι στο [0,5] η f'' είναι γν. αύξουσα.

Ως γνωστόν (απλή άσκηση στο ΘΜΤ) υπάρχει t μεταξύ των x και 3, τέτοιο ώστε

f(x) - f(3) = f'(3)(x-3) + \frac {1}{2}f''(t)(x-3)^2 =  0 + \frac {1}{2}f''(t)(x-3)^2

Ειδικά για τα e και \pi υπάρχουν e<\xi _{e} <3 < \xi _{\pi} <\pi τέτοια ώστε

f(e) - f(3) =  \frac {1}{2}f''(\xi _{e} )(e-3)^2 και f(\pi ) - f(3) =  \frac {1}{2}f''(\xi _{\pi} )(\pi-3)^2.

Υπόψη όμως ότι η f'' είναι γν. αύξουσα στο διάστημά μας, άρα \displaystyle{f''(\xi _{e}) < f'' (\xi _{\pi} ) <0} (το αρνητικό που μόλις έγραψα προκύπτει από την  f''(x) = (x-4)e^{-x} και την \pi <4.

Άρα

f(e) - f(3) =  \frac {1}{2}f''(\xi _{e} )(e-3)^ 2 <  \frac {1}{2}f''(\xi _{\pi} )(e-3)^ 2 =

= \frac {1}{2}f''(\xi _{\pi} )(3-e)^ 2  <\frac {1}{2}f''(\xi _{\pi} )(\pi-3)^ 2 = f(\pi) -f(3)

Τελικά f(e)<f(\pi), όπως θέλαμε.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13158
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: εικόνα

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Ιαν 08, 2021 6:33 pm

Τώρα βλέπω ότι στο ποστ #10 προτρέπει την μελέτη της συνάρτησης \displaystyle{f(x) = \ln x -\dfrac {2(x-1)}{x+1}} και δίνεται μία παραπομπή για την άσκηση.

Επειδή στην παραπομπή δεν βλέπω λύση (κάνω λάθος;) ας συνεχίσω εδώ για να κλείνει το θέμα, αν και με τις υποδείξεις στο παραπάνω ποστ, το θέμα είναι σχεδόν εξαντλημένο.

Όπως και να είναι, το πρώτο αποδεικτέο, ότι δηλαδή \displaystyle{\xi \in \left ( a, \dfrac {a+b}{2} \right ) } υπάρχει
εδώ.

Παίρνοντας τώρα b=\pi -2,\, a=e-2, έχουμε  \dfrac {a+b}{2} = \dfrac {\pi + e-4}{2}  <  \dfrac {6-4}{2} =1 (καθώς \pi + e \approx 3,141 + 2.718 = 5,863 <6) οπότε έχουμε

\displaystyle{ \dfrac {(\pi -2) -(e-2)}{\ln (\pi -2) - \ln (e-2)} = \dfrac {b-a}{\ln b - \ln a} = \xi <1}, ισοδύναμα

\displaystyle{\pi - e < \ln \dfrac {\pi -2}{e-2}}, οπότε  e^{\pi - e} < \dfrac {\pi -2}{e-2}, από όπου η ζητούμενη.


Άβαταρ μέλους
Λάμπρος Μπαλός
Δημοσιεύσεις: 941
Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: εικόνα

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Μπαλός » Παρ Ιαν 08, 2021 10:27 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Παρ Ιαν 08, 2021 6:33 pm
Τώρα βλέπω ότι στο ποστ #10 προτρέπει την μελέτη της συνάρτησης \displaystyle{f(x) = \ln x -\dfrac {2(x-1)}{x+1}} και δίνεται μία παραπομπή για την άσκηση.

Επειδή στην παραπομπή δεν βλέπω λύση (κάνω λάθος;) ας συνεχίσω εδώ για να κλείνει το θέμα, αν και με τις υποδείξεις στο παραπάνω ποστ, το θέμα είναι σχεδόν εξαντλημένο.

Όπως και να είναι, το πρώτο αποδεικτέο, ότι δηλαδή \displaystyle{\xi \in \left ( a, \dfrac {a+b}{2} \right ) } υπάρχει
εδώ.

Παίρνοντας τώρα b=\pi -2,\, a=e-2, έχουμε  \dfrac {a+b}{2} = \dfrac {\pi + e-4}{2}  <  \dfrac {6-4}{2} =1 (καθώς \pi + e \approx 3,141 + 2.718 = 5,863 <6) οπότε έχουμε

\displaystyle{ \dfrac {(\pi -2) -(e-2)}{\ln (\pi -2) - \ln (e-2)} = \dfrac {b-a}{\ln b - \ln a} = \xi <1}, ισοδύναμα

\displaystyle{\pi - e < \ln \dfrac {\pi -2}{e-2}}, οπότε  e^{\pi - e} < \dfrac {\pi -2}{e-2}, από όπου η ζητούμενη.
Κατ' αρχάς ευχαριστώ πολύ για τη λύση.
Όχι, δεν κάνετε λάθος. Δεν έχω βάλει τη λύση ακόμη, δεν πρόλαβα.
Καλή χρονιά να έχετε.


Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13158
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: εικόνα

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Ιαν 09, 2021 12:54 pm

Άλλη λύση στο ίδιο μήκος κύματος με (φαινομενικά) άλλη συνάρτηση.

Για την f(x) = \dfrac {2+x}{2-x}e^{-x} στο [0,2) έχουμε f'(x) = \dfrac {x^2e^{-x}}{x-2)^2} >0 , άρα είναι γν. αύξουσα. Άρα f(x) > f(0), δηλαδή

\dfrac {2+x}{2-x}e^{-x} > 1\, (*). Επιλέγουμε το x που δίνει \dfrac {2+x}{2-x}= \dfrac {\pi -2}{e-2}, συγκεκριμένα x= \dfrac {2+x}{2-x}= (\pi -e) \dfrac {2}{\pi +e-4} (ίσον περίπου 0,455 έρα μέσα στο διάστημα.

Παρατηρούμε ακόμη ότι \displaystyle{ \dfrac {2}{\pi +e-4}> 1}. Άρα από αυτήν και την  (*) έχουμε

\displaystyle{ \dfrac {\pi -2}{e-2}e^{-(\pi -e) } >  \dfrac {\pi -2}{e-2}e^{-\frac {2(\pi -e)}{\pi +e-4} } = \dfrac {2+x}{2-x}e^{-x} > 1}, από όπου η ζητούμενη (και μάλιστα λίγο ισχυρότερη).


Απάντηση

Επιστροφή σε “Δοκιμές γραφής με TeX”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης