Όχι περιττός εκθέτης

Tolaso J Kos · #1

Να δειχθεί ότι το πολυώνυμο που θα προκύψει μετά την εκτέλεση των πράξεων και την αναγωγή ομοίων όρων στη παράσταση

$\displaystyle{\left( 1- x + x^2 - x^3 + \cdots + x^{10} \right) \left( 1 +x + x^2 + x^3 + \cdots + x^{10} \right)}$
δε περιέχει όρους με περιττό εκθέτη.

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 04, 2024 7:19 am
Να δειχθεί ότι το πολυώνυμο που θα προκύψει μετά την εκτέλεση των πράξεων και την αναγωγή ομοίων όρων στη παράσταση

$\displaystyle{\left( 1- x + x^2 - x^3 + \cdots + x^{10} \right) \left( 1 +x + x^2 + x^3 + \cdots + x^{10} \right)}$
δε περιέχει όρους με περιττό εκθέτη.

Aν

το παραπάνω πολυώνυμο, τότε εύκολα βλέπουμε ότι p(x)=p(-x)

(διότι με

στην θέση του

, ο παράγοντας αριστερά γίνεται όσο ο άλλος παράγοντας, και αντίστροφα). Άρα το

είναι άρτιο και δεν έχει όρους με περιττό εκθέτη. Εδώ χρησιμοποιώ την μοναδικότητα της παράστασης πολυωνύμου (*). Συγκεκριμένα, αν κάποιος όρος ήταν της μορφής $ax^{2k+1}$ τότε η ισότητα p(x)=p(-x)

δίνει

, και άρα

, που είναι το ζητούμενο.

(*) Υπόψη η εν λόγω μοναδικότητα δεν έχει αποδειχθεί στα Σχολικά Μαθηματικά (εκτός αν μου ξεφεύγει κάτι) αλλά όλοι το παίρνουν ως δεδομένο. Η απόδειξη χρησιμοποεί με ουσιαστικό τρόπο ότι εργαζόμαστε στο $\mathbb R$ και έχει κάποια βήματα για να γίνει πλήρης. Όταν οι μαθητέςς έρχονται στο Πανεπιστήμιο, πέφτουν από τα σύνεφα όταν διαπιστώνουν ότι υπάρχουν άλλα σώματα που δεν ισχύει η μοναδικότητα, που τόσο καιρό την θεωρούσαν προφανή.

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #3

Η δοσμένη γράφεται:

$=\dfrac{x^{11}+1}{x+1}\cdot\dfrac{x^{11}-1}{x-1}$

$=\dfrac{x^{22}-1}{x^2-1}=\dfrac{(x^{2})^{11}-1}{x^2-1}$

$=1+x^2+x^4+...+x^{20}$ $\blacksquare$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 04, 2024 7:19 am
Να δειχθεί ότι το πολυώνυμο που θα προκύψει μετά την εκτέλεση των πράξεων και την αναγωγή ομοίων όρων στη παράσταση

$\displaystyle{\left( 1- x + x^2 - x^3 + \cdots + x^{10} \right) \left( 1 +x + x^2 + x^3 + \cdots + x^{10} \right)}$
δε περιέχει όρους με περιττό εκθέτη.

Το γράφουμε σαν διαφορά τετραγώνων.
Θα πάρουμε
$\displaystyle( 1+ x^2+..... +x^{10})^2-( x + x^3+.... + x^9)^2$
δηλαδή
$\displaystyle( 1+ x^2+..... +x^{10})^2-x^2( 1 + x^2+.... + x^8)^2$

Όχι περιττός εκθέτης

Όχι περιττός εκθέτης

Re: Όχι περιττός εκθέτης

Re: Όχι περιττός εκθέτης

Re: Όχι περιττός εκθέτης

Μέλη σε σύνδεση