Απλοποίηση ρητής παράστασης IΙ

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 5225
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Απλοποίηση ρητής παράστασης IΙ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Οκτ 28, 2023 5:21 pm

Να απλοποιηθεί η παράσταση:

\displaystyle{\frac{\alpha^2}{\left ( \alpha - \beta \right ) \left ( \alpha - \gamma \right )}  + \frac{\beta^2}{\left ( \beta - \alpha \right ) \left ( \beta - \gamma \right )} + \frac{\gamma^2}{\left ( \gamma - \alpha \right ) \left ( \gamma - \beta \right )}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 2346
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Απλοποίηση ρητής παράστασης IΙ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Κυρ Οκτ 29, 2023 8:40 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Οκτ 28, 2023 5:21 pm
Να απλοποιηθεί η παράσταση:

\displaystyle{\frac{\alpha^2}{\left ( \alpha - \beta \right ) \left ( \alpha - \gamma \right )}  + \frac{\beta^2}{\left ( \beta - \alpha \right ) \left ( \beta - \gamma \right )} + \frac{\gamma^2}{\left ( \gamma - \alpha \right ) \left ( \gamma - \beta \right )}}
Απόστολε καλησπέρα...

Αναρτώ μια απάντηση με τη βοήθεια του Maple το οποίο με την εντολή factor δίνει αμέσως τη μονάδα.

Θα πει κανείς ότι η ενέργεια αυτή δεν δίνει την ευκαιρία να εμπλακεί ο λύτης με την ομορφιά της όλης διαδρομής!

Αν το θελήσει όμως κάποιος, ας το προσπαθήσει..., κάποτε αυτές οι ασκήσεις ήταν στην καθημερινότητα της τάξης...


Maple 1.png
Maple 1.png (3.3 KiB) Προβλήθηκε 682 φορές
Σημείωση: Ας τονιστεί ότιι οι αριθμοί αυτοί είναι όλοι μεταξύ τους διαφορετικοί.

Κώστας Δόρτσιος


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13271
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Απλοποίηση ρητής παράστασης IΙ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Οκτ 30, 2023 7:31 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Οκτ 28, 2023 5:21 pm
Να απλοποιηθεί η παράσταση:

\displaystyle{\frac{\alpha^2}{\left ( \alpha - \beta \right ) \left ( \alpha - \gamma \right )}  + \frac{\beta^2}{\left ( \beta - \alpha \right ) \left ( \beta - \gamma \right )} + \frac{\gamma^2}{\left ( \gamma - \alpha \right ) \left ( \gamma - \beta \right )}}
Με τον παραδοσιακό τρόπο.

\displaystyle {\rm A} = \frac{{{\alpha ^2}(\beta  - \gamma ) - {\beta ^2}(\alpha  - \gamma ) + {\gamma ^2}(\alpha  - \beta )}}{{(\alpha  - \beta )(\beta  - \gamma )(\alpha  - \gamma )}} = \frac{{{\alpha ^2}(\beta  - \gamma ) - \alpha {\beta ^2} + {\beta ^2}\gamma  + \alpha {\gamma ^2} - \beta {\gamma ^2}}}{{(\alpha  - \beta )(\beta  - \gamma )(\alpha  - \gamma )}}

\displaystyle {\rm A} = \frac{{{\alpha ^2}(\beta  - \gamma ) - \alpha (\beta  - \gamma )(\beta  + \gamma ) + \beta \gamma (\beta  - \gamma )}}{{(\alpha  - \beta )(\beta  - \gamma )(\alpha  - \gamma )}} = \frac{{(\beta  - \gamma )({\alpha ^2} - \alpha \beta  - \alpha \gamma  + \beta \gamma )}}{{(\alpha  - \beta )(\beta  - \gamma )(\alpha  - \gamma )}}

\displaystyle {\rm A} = \frac{{(\beta  - \gamma )\left[ {\alpha (\alpha  - \beta ) - \gamma (\alpha  - \beta )} \right]}}{{(\alpha  - \beta )(\beta  - \gamma )(\alpha  - \gamma )}} = \frac{{(\alpha  - \beta )(\beta  - \gamma )(\alpha  - \gamma )}}{{(\alpha  - \beta )(\beta  - \gamma )(\alpha  - \gamma )}} = 1


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 15759
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Απλοποίηση ρητής παράστασης IΙ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Οκτ 30, 2023 11:19 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Οκτ 28, 2023 5:21 pm
Να απλοποιηθεί η παράσταση:

\displaystyle{\frac{\alpha^2}{\left ( \alpha - \beta \right ) \left ( \alpha - \gamma \right )}  + \frac{\beta^2}{\left ( \beta - \alpha \right ) \left ( \beta - \gamma \right )} + \frac{\gamma^2}{\left ( \gamma - \alpha \right ) \left ( \gamma - \beta \right )}}
Ένας τρόπος για πιο μεγάλη τάξη, αλλά ενδιαφέρον.

Παρατηρούμε ότι τα δευτεροβάθμια πολυώνυμα

\displaystyle{\frac{\alpha^2( x- \beta ) ( x - \gamma )}{( \alpha - \beta ) ( \alpha - \gamma )}  + \frac{\beta^2( x - \alpha )  ( x - \gamma )}{\left ( \beta - \alpha \right ) \left ( \beta - \gamma \right )} + \frac{\gamma^2( x - \alpha ) ( x - \beta )}{( \gamma - \alpha ) ( \gamma - \beta )}}

και x^2 είναι ίσα για τις τιμές x= \alpha, \, x=  \beta , \, x= \gamma της μεταβλητής (θέτοντας αυτές τις τιμές, κάθε φορά μηδενίζονται δύο όροι ενώ ο τρίτος απλοποιείται σε 1). Άρα τα πολυώνυμα είναι ίσα για κάθε x:

\displaystyle{x^2 = \frac{\alpha^2( x- \beta ) ( x - \gamma )}{( \alpha - \beta ) ( \alpha - \gamma )}  + \frac{\beta^2( x - \alpha )  ( x - \gamma )}{\left ( \beta - \alpha \right ) \left ( \beta - \gamma \right )} + \frac{\gamma^2( x - \alpha ) ( x - \beta )}{( \gamma - \alpha ) ( \gamma - \beta )}}

Aν συγκρίνουμε τώρα τους συντελεστές του x^2 στα δύο μέλη (που αριστερά είναι 1), συμπεραίνουμε ότι η τιμή της ζητούμενης μεγάλης ποαράστασης είναι 1.

Ως δώρο παίρνουμε αντίστοιχες ταυτότητες από σύγκριση των συντελεστών του x και του σταθερού όρου, που βέβαια αριστερά είναι 0.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 5225
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Απλοποίηση ρητής παράστασης IΙ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Οκτ 30, 2023 7:34 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Δευ Οκτ 30, 2023 11:19 am
Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Οκτ 28, 2023 5:21 pm
Να απλοποιηθεί η παράσταση:

\displaystyle{\frac{\alpha^2}{\left ( \alpha - \beta \right ) \left ( \alpha - \gamma \right )}  + \frac{\beta^2}{\left ( \beta - \alpha \right ) \left ( \beta - \gamma \right )} + \frac{\gamma^2}{\left ( \gamma - \alpha \right ) \left ( \gamma - \beta \right )}}
Ως δώρο παίρνουμε αντίστοιχες ταυτότητες από σύγκριση των συντελεστών του x και του σταθερού όρου, που βέβαια αριστερά είναι 0.
Αν βλέπω καλά,

\displaystyle{\begin{aligned} 
\frac{\alpha^2 \gamma}{(\alpha - \beta) \left ( \alpha - \gamma \right )} + \frac{\alpha^2 \beta}{\left ( \alpha - \beta \right ) \left ( \alpha - \gamma \right )} + \frac{\alpha \beta^2}{\left ( \beta - \alpha \right ) \left ( \beta - \gamma \right )} &+\\ 
\frac{\beta^2 \gamma}{\left ( \beta - \alpha \right ) \left ( \beta - \gamma \right )} + \frac{\alpha \gamma^2 }{\left ( \gamma - \alpha \right ) \left ( \gamma - \beta \right )}+  \frac{\beta \gamma^2}{\left ( \gamma - \alpha \right ) \left ( \gamma - \beta \right )} = 0  
\end{aligned}}
και

\displaystyle{\frac{\alpha^2 \beta \gamma}{\left ( \alpha - \beta \right ) \left ( \alpha - \gamma \right )} + \frac{\alpha \beta^2 \gamma}{\left ( \beta - \alpha \right ) \left ( \beta - \gamma \right )}  + \frac{\alpha \beta \gamma^2}{\left ( \gamma - \alpha \right ) \left ( \gamma - \beta \right )} = 0 }


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 15759
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Απλοποίηση ρητής παράστασης IΙ

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Οκτ 30, 2023 9:06 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Οκτ 30, 2023 7:34 pm
Αν βλέπω καλά,
. . . . .
Σωστά, αλλά μπορούμε να τα συμμαζέψουμε.

Συγκεκριμένα, παίρνουμε

\displaystyle{\frac{\alpha^2( \beta + \gamma )}{( \alpha - \beta ) ( \alpha - \gamma )}  + \frac{\beta^2(\alpha + \gamma )}{\left ( \beta - \alpha \right ) \left ( \beta - \gamma \right )} + \frac{\gamma^2( \alpha + \beta )}{( \gamma - \alpha ) ( \gamma - \beta )}=0}

και
\displaystyle{\frac{\alpha}{( \alpha - \beta ) ( \alpha - \gamma )}  + \frac{\beta}{\left ( \beta - \alpha \right ) \left ( \beta - \gamma \right )} + \frac{\gamma}{( \gamma - \alpha ) ( \gamma - \beta )}=0}

(για το δεύτερο αιτιολογείστε τι μου έδωσε το δικαίωμα να απλοποιήσω ένα \alpha \beta \gamma ακόμη και αν κάποιο από τα \alpha, \,  \beta, \,  \gamma είναι μηδέν.)


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης