Απλοποίηση ρητής παράστασης IΙ

Tolaso J Kos · #1

Να απλοποιηθεί η παράσταση:

$\displaystyle{\frac{\alpha^2}{\left ( \alpha - \beta \right ) \left ( \alpha - \gamma \right )} + \frac{\beta^2}{\left ( \beta - \alpha \right ) \left ( \beta - \gamma \right )} + \frac{\gamma^2}{\left ( \gamma - \alpha \right ) \left ( \gamma - \beta \right )}}$

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 28, 2023 5:21 pm
Να απλοποιηθεί η παράσταση:

$\displaystyle{\frac{\alpha^2}{\left ( \alpha - \beta \right ) \left ( \alpha - \gamma \right )} + \frac{\beta^2}{\left ( \beta - \alpha \right ) \left ( \beta - \gamma \right )} + \frac{\gamma^2}{\left ( \gamma - \alpha \right ) \left ( \gamma - \beta \right )}}$

Απόστολε καλησπέρα...

Αναρτώ μια απάντηση με τη βοήθεια του Maple το οποίο με την εντολή factor δίνει αμέσως τη μονάδα.

Θα πει κανείς ότι η ενέργεια αυτή δεν δίνει την ευκαιρία να εμπλακεί ο λύτης με την ομορφιά της όλης διαδρομής!

Αν το θελήσει όμως κάποιος, ας το προσπαθήσει..., κάποτε αυτές οι ασκήσεις ήταν στην καθημερινότητα της τάξης...

: Maple 1.png (3.3 KiB) Προβλήθηκε 1318 φορές

Σημείωση: Ας τονιστεί ότιι οι αριθμοί αυτοί είναι όλοι μεταξύ τους διαφορετικοί.

Κώστας Δόρτσιος

#3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 28, 2023 5:21 pm
Να απλοποιηθεί η παράσταση:

$\displaystyle{\frac{\alpha^2}{\left ( \alpha - \beta \right ) \left ( \alpha - \gamma \right )} + \frac{\beta^2}{\left ( \beta - \alpha \right ) \left ( \beta - \gamma \right )} + \frac{\gamma^2}{\left ( \gamma - \alpha \right ) \left ( \gamma - \beta \right )}}$

Με τον παραδοσιακό τρόπο.

$\displaystyle {\rm A} = \frac{{{\alpha ^2}(\beta - \gamma ) - {\beta ^2}(\alpha - \gamma ) + {\gamma ^2}(\alpha - \beta )}}{{(\alpha - \beta )(\beta - \gamma )(\alpha - \gamma )}} = \frac{{{\alpha ^2}(\beta - \gamma ) - \alpha {\beta ^2} + {\beta ^2}\gamma + \alpha {\gamma ^2} - \beta {\gamma ^2}}}{{(\alpha - \beta )(\beta - \gamma )(\alpha - \gamma )}}$

$\displaystyle {\rm A} = \frac{{{\alpha ^2}(\beta - \gamma ) - \alpha (\beta - \gamma )(\beta + \gamma ) + \beta \gamma (\beta - \gamma )}}{{(\alpha - \beta )(\beta - \gamma )(\alpha - \gamma )}} = \frac{{(\beta - \gamma )({\alpha ^2} - \alpha \beta - \alpha \gamma + \beta \gamma )}}{{(\alpha - \beta )(\beta - \gamma )(\alpha - \gamma )}}$

$\displaystyle {\rm A} = \frac{{(\beta - \gamma )\left[ {\alpha (\alpha - \beta ) - \gamma (\alpha - \beta )} \right]}}{{(\alpha - \beta )(\beta - \gamma )(\alpha - \gamma )}} = \frac{{(\alpha - \beta )(\beta - \gamma )(\alpha - \gamma )}}{{(\alpha - \beta )(\beta - \gamma )(\alpha - \gamma )}} = 1$

#4

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 28, 2023 5:21 pm
Να απλοποιηθεί η παράσταση:

$\displaystyle{\frac{\alpha^2}{\left ( \alpha - \beta \right ) \left ( \alpha - \gamma \right )} + \frac{\beta^2}{\left ( \beta - \alpha \right ) \left ( \beta - \gamma \right )} + \frac{\gamma^2}{\left ( \gamma - \alpha \right ) \left ( \gamma - \beta \right )}}$

Ένας τρόπος για πιο μεγάλη τάξη, αλλά ενδιαφέρον.

Παρατηρούμε ότι τα δευτεροβάθμια πολυώνυμα

$\displaystyle{\frac{\alpha^2( x- \beta ) ( x - \gamma )}{( \alpha - \beta ) ( \alpha - \gamma )} + \frac{\beta^2( x - \alpha ) ( x - \gamma )}{\left ( \beta - \alpha \right ) \left ( \beta - \gamma \right )} + \frac{\gamma^2( x - \alpha ) ( x - \beta )}{( \gamma - \alpha ) ( \gamma - \beta )}}$

και x^2

είναι ίσα για τις τιμές $x= \alpha, \, x= \beta , \, x= \gamma$ της μεταβλητής (θέτοντας αυτές τις τιμές, κάθε φορά μηδενίζονται δύο όροι ενώ ο τρίτος απλοποιείται σε

). Άρα τα πολυώνυμα είναι ίσα για κάθε

:

$\displaystyle{x^2 = \frac{\alpha^2( x- \beta ) ( x - \gamma )}{( \alpha - \beta ) ( \alpha - \gamma )} + \frac{\beta^2( x - \alpha ) ( x - \gamma )}{\left ( \beta - \alpha \right ) \left ( \beta - \gamma \right )} + \frac{\gamma^2( x - \alpha ) ( x - \beta )}{( \gamma - \alpha ) ( \gamma - \beta )}}$

Aν συγκρίνουμε τώρα τους συντελεστές του x^2

στα δύο μέλη (που αριστερά είναι

), συμπεραίνουμε ότι η τιμή της ζητούμενης μεγάλης ποαράστασης είναι

.

Ως δώρο παίρνουμε αντίστοιχες ταυτότητες από σύγκριση των συντελεστών του

και του σταθερού όρου, που βέβαια αριστερά είναι

.

Tolaso J Kos · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 30, 2023 11:19 am

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 28, 2023 5:21 pm
Να απλοποιηθεί η παράσταση:

$\displaystyle{\frac{\alpha^2}{\left ( \alpha - \beta \right ) \left ( \alpha - \gamma \right )} + \frac{\beta^2}{\left ( \beta - \alpha \right ) \left ( \beta - \gamma \right )} + \frac{\gamma^2}{\left ( \gamma - \alpha \right ) \left ( \gamma - \beta \right )}}$
Ως δώρο παίρνουμε αντίστοιχες ταυτότητες από σύγκριση των συντελεστών του και του σταθερού όρου, που βέβαια αριστερά είναι .

Αν βλέπω καλά,

$\displaystyle{\begin{aligned} \frac{\alpha^2 \gamma}{(\alpha - \beta) \left ( \alpha - \gamma \right )} + \frac{\alpha^2 \beta}{\left ( \alpha - \beta \right ) \left ( \alpha - \gamma \right )} + \frac{\alpha \beta^2}{\left ( \beta - \alpha \right ) \left ( \beta - \gamma \right )} &+\\ \frac{\beta^2 \gamma}{\left ( \beta - \alpha \right ) \left ( \beta - \gamma \right )} + \frac{\alpha \gamma^2 }{\left ( \gamma - \alpha \right ) \left ( \gamma - \beta \right )}+ \frac{\beta \gamma^2}{\left ( \gamma - \alpha \right ) \left ( \gamma - \beta \right )} = 0 \end{aligned}}$
και

$\displaystyle{\frac{\alpha^2 \beta \gamma}{\left ( \alpha - \beta \right ) \left ( \alpha - \gamma \right )} + \frac{\alpha \beta^2 \gamma}{\left ( \beta - \alpha \right ) \left ( \beta - \gamma \right )} + \frac{\alpha \beta \gamma^2}{\left ( \gamma - \alpha \right ) \left ( \gamma - \beta \right )} = 0 }$

#6

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 30, 2023 7:34 pm
Αν βλέπω καλά,
. . . . .

Σωστά, αλλά μπορούμε να τα συμμαζέψουμε.

Συγκεκριμένα, παίρνουμε

$\displaystyle{\frac{\alpha^2( \beta + \gamma )}{( \alpha - \beta ) ( \alpha - \gamma )} + \frac{\beta^2(\alpha + \gamma )}{\left ( \beta - \alpha \right ) \left ( \beta - \gamma \right )} + \frac{\gamma^2( \alpha + \beta )}{( \gamma - \alpha ) ( \gamma - \beta )}=0}$

και
$\displaystyle{\frac{\alpha}{( \alpha - \beta ) ( \alpha - \gamma )} + \frac{\beta}{\left ( \beta - \alpha \right ) \left ( \beta - \gamma \right )} + \frac{\gamma}{( \gamma - \alpha ) ( \gamma - \beta )}=0}$

(για το δεύτερο αιτιολογείστε τι μου έδωσε το δικαίωμα να απλοποιήσω ένα $\alpha \beta \gamma$ ακόμη και αν κάποιο από τα $\alpha, \, \beta, \, \gamma$ είναι μηδέν.)

Απλοποίηση ρητής παράστασης IΙ

Απλοποίηση ρητής παράστασης IΙ

Re: Απλοποίηση ρητής παράστασης IΙ

Re: Απλοποίηση ρητής παράστασης IΙ

Re: Απλοποίηση ρητής παράστασης IΙ

Re: Απλοποίηση ρητής παράστασης IΙ

Re: Απλοποίηση ρητής παράστασης IΙ

Μέλη σε σύνδεση