Ισότητα τμημάτων

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 5270
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Ισότητα τμημάτων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Ιουν 06, 2023 12:13 am

Στο παρακάτω σχήμα δίδονται τα διαδοχικά συνευθειακά σημεία \mathrm{A}, \mathrm{B}, \Gamma με \mathrm{B} \Gamma =2 \mathrm{AB} = 2x . Στο ημικύκλιο διαμέτρου 3x παίρνουμε σημείο \Delta τέτοιο ώστε το ευθύγραμμο τμήμα \Delta \mathrm{A} να τέμνει το ημικύκλιο διαμέτρου 2x στα \mathrm{E}, \mathrm{Z} και το ημικύκλιο διαμέτρου x στο \mathrm{H}. Να δειχθεί ότι \Delta \mathrm{E} = \mathrm{ZH}.

\displaystyle{ 
    	\begin{tikzpicture} 
    		\draw[line width=1.2pt] (1, 0) arc(0:180:1); 
    		\draw[line width=1.2pt] (5, 0) arc(0:180:2); 
    		\draw[line width=1.2pt] (5, 0) arc(0:180:3); 
    		\draw[line width=1.2pt] (-1,0)-- (5,0); 
    		\draw[dashed] (-1,0) -- (3.76, 2.43); 
    		 
    		\draw (-1, 0) node[below]{A}; 
    		\draw (1,0)  node[below]{B}; 
    		\draw (5, 0) node[below]{\text{\gr Γ}}; 
    		\draw (3.76, 2.43) node[right]{\text{\gr Δ}}; 
    		\draw (2.92, 2) node[above]{E}; 
    		\draw (1.43, 1.24) node[above]{Z}; 
    		\draw (0.59,0.81) node[above]{H}; 
                \draw[fill=black] (0,0) circle(2pt) node[below]{K}; 
    		\draw[fill=black] (3,0) circle(2pt) node[below]{\text{\gr Λ}}; 
    		 
    		\draw (0, -1) node[]{x}; 
    		\draw (3, -1) node[]{2x}; 
    	\end{tikzpicture}}
Ερώτηση εκτός άσκησης (και ίσως φακέλου): Υπάρχει κάποια σχέση που συνδέει τα εμβαδά των παραπάνω σχημάτων, ή ακόμη και το εμβαδόν του μηνίσκου;


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5286
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ισότητα τμημάτων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τρί Ιουν 06, 2023 8:49 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Ιουν 06, 2023 12:13 am

Ερώτηση εκτός άσκησης (και ίσως φακέλου): Υπάρχει κάποια σχέση που συνδέει τα εμβαδά των παραπάνω σχημάτων, ή ακόμη και το εμβαδόν του μηνίσκου;
Kαλημέρα Αποστόλη. Είναι η Άρβηλος του Αρχιμήδη. Υπάρχει και στο σχολικό βιβλίο της Β΄Λυκείου.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13368
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ισότητα τμημάτων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιουν 06, 2023 10:23 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Ιουν 06, 2023 12:13 am
Στο παρακάτω σχήμα δίδονται τα διαδοχικά συνευθειακά σημεία \mathrm{A}, \mathrm{B}, \Gamma με \mathrm{B} \Gamma =2 \mathrm{AB} = 2x . Στο ημικύκλιο διαμέτρου 3x παίρνουμε σημείο \Delta τέτοιο ώστε το ευθύγραμμο τμήμα \Delta \mathrm{A} να τέμνει το ημικύκλιο διαμέτρου 2x στα \mathrm{E}, \mathrm{Z} και το ημικύκλιο διαμέτρου x στο \mathrm{H}. Να δειχθεί ότι \Delta \mathrm{E} = \mathrm{ZH}.

\displaystyle{ 
    	\begin{tikzpicture} 
    		\draw[line width=1.2pt] (1, 0) arc(0:180:1); 
    		\draw[line width=1.2pt] (5, 0) arc(0:180:2); 
    		\draw[line width=1.2pt] (5, 0) arc(0:180:3); 
    		\draw[line width=1.2pt] (-1,0)-- (5,0); 
    		\draw[dashed] (-1,0) -- (3.76, 2.43); 
    		 
    		\draw (-1, 0) node[below]{A}; 
    		\draw (1,0)  node[below]{B}; 
    		\draw (5, 0) node[below]{\text{\gr Γ}}; 
    		\draw (3.76, 2.43) node[right]{\text{\gr Δ}}; 
    		\draw (2.92, 2) node[above]{E}; 
    		\draw (1.43, 1.24) node[above]{Z}; 
    		\draw (0.59,0.81) node[above]{H}; 
                \draw[fill=black] (0,0) circle(2pt) node[below]{K}; 
    		\draw[fill=black] (3,0) circle(2pt) node[below]{\text{\gr Λ}}; 
    		 
    		\draw (0, -1) node[]{x}; 
    		\draw (3, -1) node[]{2x}; 
    	\end{tikzpicture}}
Ερώτηση εκτός άσκησης (και ίσως φακέλου): Υπάρχει κάποια σχέση που συνδέει τα εμβαδά των παραπάνω σχημάτων, ή ακόμη και το εμβαδόν του μηνίσκου;
Αρκετά δύσκολη για Γ Γυμνασίου.

Θέτω x=2r και έστω M, N τα μέσα των AH, ZE.
Tolaso J Kos.4.png
Tolaso J Kos.4.png (19.38 KiB) Προβλήθηκε 634 φορές
\displaystyle MK||NL \Leftrightarrow \frac{{AM}}{{MN}} = \frac{{AK}}{{KL}} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{{\frac{{AH}}{2}}}{{\frac{{AH}}{2} + HZ + \frac{{ZE}}{2}}} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \boxed{\frac{{AH}}{{AE + HZ}} = \frac{1}{3}} (1)

\displaystyle HB||DC \Leftrightarrow \frac{{AH}}{{AE}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{{AH}}{{AE + ED}} = \frac{1}{3}\mathop  \Rightarrow \limits^{(1)} \boxed{HZ=ED}


Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 312
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: Ισότητα τμημάτων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Τρί Ιουν 06, 2023 12:47 pm

Από τις ισότητες των τριγώνων ABH, BLF, LCG θά είναι AH=BF=LG,
άρα και HM=MD, και επειδή ZM=ME θα είναι και HZ=ED.
Συνημμένα
rsz_1isotita123.png
rsz_1isotita123.png (43.48 KiB) Προβλήθηκε 618 φορές


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Henri van Aubel
Δημοσιεύσεις: 876
Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm

Re: Ισότητα τμημάτων

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Henri van Aubel » Τρί Ιουν 06, 2023 7:12 pm

nickchalkida έγραψε:
Τρί Ιουν 06, 2023 12:47 pm
Από τις ισότητες των τριγώνων ABH, BLF, LCG θά είναι AH=BF=LG,
άρα και HM=MD, και επειδή ZM=ME θα είναι και HZ=ED.
Πολύ διδακτικό!! :coolspeak:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης