Ανεξάρτητη των α, β

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 5270
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Ανεξάρτητη των α, β

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Μάιος 03, 2023 8:22 pm

Αν \alpha^2 + \beta^2=1 τότε να βρεθεί η τιμή του \lambda ώστε το πολυώνυμο

\displaystyle{\mathrm{P}(x) = \alpha^6 + \beta^6 + \lambda \left( \alpha^4 + \beta^4 \right)}

να είναι ανεξάρτητο των \alpha, \beta.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5286
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ανεξάρτητη των α, β

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τετ Μάιος 03, 2023 9:22 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Μάιος 03, 2023 8:22 pm
Αν \alpha^2 + \beta^2=1 τότε να βρεθεί η τιμή του \lambda ώστε το πολυώνυμο
\displaystyle{\mathrm{P}(x) = \alpha^6 + \beta^6 + \lambda \left( \alpha^4 + \beta^4 \right)}
να είναι ανεξάρτητο των \alpha, \beta.
 \displaystyle {\rm{P}}(\alpha ,\beta ) = {\alpha ^6} + {\beta ^6} + \lambda \left( {{\alpha ^4} + {\beta ^4}} \right) = {\left( {{\alpha ^2}} \right)^3} + {\left( {{\beta ^2}} \right)^3} + \lambda \left( {{\alpha ^4} + {\beta ^4}} \right)

 \displaystyle  = \left( {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} \right)\left( {{\alpha ^4} - {\alpha ^2}{\beta ^2} + {\beta ^4}} \right) + \lambda \left( {{\alpha ^4} + {\beta ^4}} \right) = \left( {{\alpha ^4} + {\beta ^4}} \right)\left( {\lambda  + 1} \right) - {\alpha ^2}{\beta ^2}

 \displaystyle  = \left[ {{{\left( {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} \right)}^2} - 2{\alpha ^2}{\beta ^2}} \right]\left( {\lambda  + 1} \right) - {\alpha ^2}{\beta ^2} = \left( {1 - 2{\alpha ^2}{\beta ^2}} \right)\left( {\lambda  + 1} \right) - {\alpha ^2}{\beta ^2}

 \displaystyle  = \lambda  + 1 - \left( {2\lambda  + 3} \right){\alpha ^2}{\beta ^2}

Οπότε, ανν  \displaystyle \lambda  =  - \frac{3}{2} ,  \displaystyle {\rm P}\left( {\alpha ,\beta } \right) =  - \frac{1}{2} , σταθερό.

Θα την προτιμούσα σε φάκελο Β' Λυκείου, παρά Γ΄ Γυμνασίου.

edit: Προσθέτω ένα αρχείο Geogebra, στο οποίο έχω μετατρέψει το πολυώνυμο δύο μεταβλητών σε συνάρτηση μιας μεταβλητής και στο οποίο φαίνεται γραφικά η συμπεριφορά της συνάρτησης για τις διάφορες τιμές της μεταβλητής.
Συνημμένα
03-05-2023 Άλγεβρα.ggb
(14.96 KiB) Μεταφορτώθηκε 18 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13368
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ανεξάρτητη των α, β

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Μάιος 04, 2023 8:26 am

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
Τετ Μάιος 03, 2023 9:22 pm

Θα την προτιμούσα σε φάκελο Β' Λυκείου, παρά Γ΄ Γυμνασίου.
Θα συμφωνήσω με τον Γιώργο Ρίζο και θα την αντιμετωπίσω ως άσκηση Β' Λυκείου.

Υπάρχει x\in \mathbb{R,} ώστε \displaystyle a = \sin x,b = \cos x και από γνωστή άσκηση του σχολικού είναι

\displaystyle {\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 1 - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x,{\sin ^6}x + {\cos ^6}x = 1 - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x

Έτσι, \displaystyle P(x) = 1 - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x + \lambda \left( {1 - 2{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x} \right) = \lambda  + 1 - (2\lambda  + 3){\sin ^2}x{\cos ^2}x

απ' όπου \boxed{\lambda  =  - \frac{3}{2}} ώστε το πολυώνυμο να είναι ανεξάρτητο του x ( άρα και των a,b).


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης