Έλάχιστη τιμή

Tolaso J Kos · #1

Έστω $\alpha, \beta$ σταθεροί πραγματικοί αριθμοί. Να βρεθεί για ποια τιμή του

η παράσταση $\left(x - \alpha \right)^2 + \left(x - \beta \right)^2$ παίρνει την ελάχιστη τιμή της.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #2

$\left ( x-a \right )^{2}+\left ( x-\beta \right )^{2}=x^{2}-2ax+a^{2}+x^{2}-2\beta x+\beta ^{2}= 2x^{2}-2\left ( a+\beta \right )x+a^{2}+\beta ^{2}.$

Aπό τη θεωρία που υπάρχει τυπωμένη στο βιβλίο της Γ' Γυμνασίου γνωρίζουμε ότι η ζητούμενη ελάχιστη τιμή επιτυγχάνεται όταν

$\displaystyle x=-\frac{-\left ( 2a+2\beta \right )}{2\cdot 2}=\frac{2\left ( a+\beta \right )}{2\cdot 2}=\frac{a+\beta }{2}$

#3

Η εντός φακέλου απάντηση είναι η παραπάνω, του Τηλέμαχου, (που διακριτικά σημειώνει: "Aπό τη θεωρία που υπάρχει τυπωμένη στο βιβλίο της Γ' Γυμνασίου ..."). Το κεφάλαιο μελέτης τριωνύμου είναι εκτός διδακτέας ύλης, αλλά και εντός να ήταν δύσκολα θα προλάβαινε κάποιος σε μια "μεσαία" Γ' Γυμνασίου.

Θα πρότεινα τέτοια θέματα να τα αφήναμε για πιο μεγάλες τάξεις, οπότε και θα ήταν πιο κατανοητές τεχνικές όπως η παρακάτω:

Είναι ${\left( {x - \alpha } \right)^2} + {\left( {x - \beta } \right)^2} = {\left( {\alpha - x} \right)^2} + {\left( {x - \beta } \right)^2} \ge 2\left( {\alpha - x} \right)\left( {x - \beta } \right)$

με το ίσον όταν $\displaystyle \alpha - x = x - \beta \Leftrightarrow 2x = \alpha + \beta \Leftrightarrow x = \frac{{\alpha + \beta }}{2}$

Tolaso J Kos · #4

Αυτή η άσκηση Γιώργο δόθηκε σε τμήμα Γ Γυμνασίου για το σπίτι με υπόδειξη "Εφαρμόστε τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνων".

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #5

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 20, 2023 10:57 pm
Αυτή η άσκηση Γιώργο δόθηκε σε τμήμα Γ Γυμνασίου για το σπίτι με υπόδειξη "Εφαρμόστε τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνων".

Αν ο διδάσκων διέθεσε αρκετό χρόνο για να διδάξει τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνων, αν έδωσε στην αίθουσα αρκετά παραδείγματα, τότε καλά έκανε και την έθεσε στα παιδιά.
Για τα όσα έγραψε ο Γιώργος Ρίζος, έχω να γράψω ότι συμφωνώ απόλυτα. Ο Γιώργος διδάσκει εδώ και πολλά χρόνια σε Γυμνάσιο, όπως κι εγώ. Αντιμετωπίζουμε συνεπώς την ίδια πίεση χρόνου για να διδάξουμε αξιοπρεπώς την ύλη που είναι απαραίτητη για να τεθούν κάπως σοβαρά θέματα στις εξετάσεις του Ιουνίου και για να μπορούν τα παιδιά να παρακολουθήσουν την επόμενη τάξη.

#6

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 20, 2023 10:57 pm
Αυτή η άσκηση Γιώργο δόθηκε σε τμήμα Γ Γυμνασίου για το σπίτι με υπόδειξη "Εφαρμόστε τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνων".

Για το σπίτι εντάξει! Αν ήταν θέμα σε εξετάσεις, θα ήμουν περίεργος να δω το ποσοστό επιτυχίας σε σημερινό τμήμα Γ' Γυμνασίου.
Ασφαλώς, σε μαθητές μικρών τάξεων με ιδιαίτερο ενδιαφέρον για τα Μαθηματικά, αξίζει και πρέπει να δίνουμε θέματα που εμβαθύνουν στα εργαλεία της Άλγεβρας .

${\left( {x - \alpha } \right)^2} + {\left( {x - \beta } \right)^2} = {x^2} - 2\alpha x + {\alpha ^2} + {x^2} - 2\beta x + {\beta ^2}$

$= 2\left[ {{x^2} - \left( {\alpha + \beta } \right)x} \right] + {\alpha ^2} + {\beta ^2} = 2\left[ {{x^2} - 2\frac{{\left( {\alpha + \beta } \right)}}{2}x + \frac{{{{\left( {\alpha + \beta } \right)}^2}}}{4}} \right] - \frac{{{{\left( {\alpha + \beta } \right)}^2}}}{2} + {\alpha ^2} + {\beta ^2} =$ $\displaystyle = 2{\left[ {x - \frac{{\left( {\alpha + \beta } \right)}}{2}} \right]^2} - \frac{{{\alpha ^2} + 2\alpha \beta + {\beta ^2}}}{2} + \frac{{2{\alpha ^2} + 2{\beta ^2}}}{2} = 2{\left[ {x - \frac{{\left( {\alpha + \beta } \right)}}{2}} \right]^2} + \frac{{{{\left( {\alpha - \beta } \right)}^2}}}{2}$

Επειδή $\displaystyle {\left[ {x - \frac{{\alpha + \beta }}{2}} \right]^2} \ge 0$ , με το ίσον όταν $\displaystyle x = \frac{{\alpha + \beta }}{2}$ , η παράσταση ${\left( {x - \alpha } \right)^2} + {\left( {x - \beta } \right)^2}$ παίρνει την ελάχιστη τιμή της όταν $\displaystyle x = \frac{{\alpha + \beta }}{2}$ .

Έλάχιστη τιμή

Έλάχιστη τιμή

Re: Έλάχιστη τιμή

Re: Έλάχιστη τιμή

Re: Έλάχιστη τιμή

Re: Έλάχιστη τιμή

Re: Έλάχιστη τιμή

Μέλη σε σύνδεση