Έλάχιστη τιμή

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 5225
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Έλάχιστη τιμή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Απρ 20, 2023 9:27 pm

Έστω \alpha, \beta σταθεροί πραγματικοί αριθμοί. Να βρεθεί για ποια τιμή του x η παράσταση \left(x - \alpha \right)^2 + \left(x - \beta \right)^2 παίρνει την ελάχιστη τιμή της.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 1288
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

Re: Έλάχιστη τιμή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Πέμ Απρ 20, 2023 9:46 pm

\left ( x-a \right )^{2}+\left ( x-\beta  \right )^{2}=x^{2}-2ax+a^{2}+x^{2}-2\beta x+\beta ^{2}= 2x^{2}-2\left ( a+\beta  \right )x+a^{2}+\beta ^{2}.

Aπό τη θεωρία που υπάρχει τυπωμένη στο βιβλίο της Γ' Γυμνασίου γνωρίζουμε ότι η ζητούμενη ελάχιστη τιμή επιτυγχάνεται όταν

\displaystyle x=-\frac{-\left ( 2a+2\beta \right )}{2\cdot 2}=\frac{2\left ( a+\beta  \right )}{2\cdot 2}=\frac{a+\beta }{2}


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5283
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Έλάχιστη τιμή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Πέμ Απρ 20, 2023 10:49 pm

Η εντός φακέλου απάντηση είναι η παραπάνω, του Τηλέμαχου, (που διακριτικά σημειώνει: "Aπό τη θεωρία που υπάρχει τυπωμένη στο βιβλίο της Γ' Γυμνασίου ..."). Το κεφάλαιο μελέτης τριωνύμου είναι εκτός διδακτέας ύλης, αλλά και εντός να ήταν δύσκολα θα προλάβαινε κάποιος σε μια "μεσαία" Γ' Γυμνασίου.

Θα πρότεινα τέτοια θέματα να τα αφήναμε για πιο μεγάλες τάξεις, οπότε και θα ήταν πιο κατανοητές τεχνικές όπως η παρακάτω:

Είναι {\left( {x - \alpha } \right)^2} + {\left( {x - \beta } \right)^2} = {\left( {\alpha  - x} \right)^2} + {\left( {x - \beta } \right)^2} \ge 2\left( {\alpha  - x} \right)\left( {x - \beta } \right)

με το ίσον όταν  \displaystyle \alpha  - x = x - \beta  \Leftrightarrow 2x = \alpha  + \beta  \Leftrightarrow x = \frac{{\alpha  + \beta }}{2}


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 5225
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Έλάχιστη τιμή

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Απρ 20, 2023 10:57 pm

Αυτή η άσκηση Γιώργο δόθηκε σε τμήμα Γ Γυμνασίου για το σπίτι με υπόδειξη "Εφαρμόστε τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνων".


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 1288
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

Re: Έλάχιστη τιμή

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Πέμ Απρ 20, 2023 11:10 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Πέμ Απρ 20, 2023 10:57 pm
Αυτή η άσκηση Γιώργο δόθηκε σε τμήμα Γ Γυμνασίου για το σπίτι με υπόδειξη "Εφαρμόστε τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνων".
Αν ο διδάσκων διέθεσε αρκετό χρόνο για να διδάξει τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνων, αν έδωσε στην αίθουσα αρκετά παραδείγματα, τότε καλά έκανε και την έθεσε στα παιδιά.
Για τα όσα έγραψε ο Γιώργος Ρίζος, έχω να γράψω ότι συμφωνώ απόλυτα. Ο Γιώργος διδάσκει εδώ και πολλά χρόνια σε Γυμνάσιο, όπως κι εγώ. Αντιμετωπίζουμε συνεπώς την ίδια πίεση χρόνου για να διδάξουμε αξιοπρεπώς την ύλη που είναι απαραίτητη για να τεθούν κάπως σοβαρά θέματα στις εξετάσεις του Ιουνίου και για να μπορούν τα παιδιά να παρακολουθήσουν την επόμενη τάξη.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5283
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Έλάχιστη τιμή

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Παρ Απρ 21, 2023 8:54 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Πέμ Απρ 20, 2023 10:57 pm
Αυτή η άσκηση Γιώργο δόθηκε σε τμήμα Γ Γυμνασίου για το σπίτι με υπόδειξη "Εφαρμόστε τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνων".
Για το σπίτι εντάξει! Αν ήταν θέμα σε εξετάσεις, θα ήμουν περίεργος να δω το ποσοστό επιτυχίας σε σημερινό τμήμα Γ' Γυμνασίου.
Ασφαλώς, σε μαθητές μικρών τάξεων με ιδιαίτερο ενδιαφέρον για τα Μαθηματικά, αξίζει και πρέπει να δίνουμε θέματα που εμβαθύνουν στα εργαλεία της Άλγεβρας .


{\left( {x - \alpha } \right)^2} + {\left( {x - \beta } \right)^2} = {x^2} - 2\alpha x + {\alpha ^2} + {x^2} - 2\beta x + {\beta ^2}

 = 2\left[ {{x^2} - \left( {\alpha  + \beta } \right)x} \right] + {\alpha ^2} + {\beta ^2} = 2\left[ {{x^2} - 2\frac{{\left( {\alpha  + \beta } \right)}}{2}x + \frac{{{{\left( {\alpha  + \beta } \right)}^2}}}{4}} \right] - \frac{{{{\left( {\alpha  + \beta } \right)}^2}}}{2} + {\alpha ^2} + {\beta ^2} =  \displaystyle  = 2{\left[ {x - \frac{{\left( {\alpha  + \beta } \right)}}{2}} \right]^2} - \frac{{{\alpha ^2} + 2\alpha \beta  + {\beta ^2}}}{2} + \frac{{2{\alpha ^2} + 2{\beta ^2}}}{2} = 2{\left[ {x - \frac{{\left( {\alpha  + \beta } \right)}}{2}} \right]^2} + \frac{{{{\left( {\alpha  - \beta } \right)}^2}}}{2}

Επειδή  \displaystyle {\left[ {x - \frac{{\alpha  + \beta }}{2}} \right]^2} \ge 0 , με το ίσον όταν  \displaystyle x = \frac{{\alpha  + \beta }}{2} , η παράσταση {\left( {x - \alpha } \right)^2} + {\left( {x - \beta } \right)^2} παίρνει την ελάχιστη τιμή της όταν  \displaystyle x = \frac{{\alpha  + \beta }}{2} .


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης