Λόγος συναρτήσει λόγου

KARKAR · #1

: Λόγος ένεκα λόγου.png (5.85 KiB) Προβλήθηκε 464 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, με :

, η μεσοκάθετος της υποτείνουσας

,

τέμνει την πλευρά

στο σημείο

. Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AS}{SB}$ , συναρτήσει της $\tan\theta$ .

Henri van Aubel · #2

$\angle AMS=90^\circ-\angle CMA=2\vartheta -90^\circ$

$\displaystyle \frac{AS}{SB}=\frac{AS}{SM}\cdot \frac{SM}{SB}=\frac{\sin \left ( 2\vartheta -90^\circ \right )}{\sin \left ( 90^\circ- \vartheta \right )}\cdot \cos \vartheta =\sin \left ( 2\vartheta -90^\circ \right )$

Ε, τώρα είναι απλό..

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 24, 2023 1:36 pm
Λόγος ένεκα λόγου.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , με : , η μεσοκάθετος της υποτείνουσας ,

τέμνει την πλευρά στο σημείο . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AS}{SB}$ , συναρτήσει της $\tan\theta$ .

: Λόγος συναρτήσει λόγου.png (8.73 KiB) Προβλήθηκε 436 φορές

Από τα όμοια τρίγωνα MBS, ABC

είναι $\displaystyle \frac{{BM}}{{AB}} = \frac{{BS}}{{BC}} \Leftrightarrow \frac{a}{{2c}} = \frac{{BS}}{a} \Leftrightarrow BS = \frac{{{a^2}}}{{2c}}$

$\displaystyle \frac{{AS}}{{SB}} = \frac{{c - SB}}{{SB}} = \frac{c}{{SB}} - 1 = \frac{{2{c^2}}}{{{a^2}}} - 1 = 2{\sin ^2}\theta - 1 = \frac{{2{{\tan }^2}\theta }}{{1 + {{\tan }^2}\theta }} - 1 \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{AS}}{{SB}} = \frac{{{{\tan }^2}\theta - 1}}{{{{\tan }^2}\theta + 1}}}$

nickchalkida · #4

Από τις ομοιότητες, ότι $\displaystyle AD=DB$ και ότι $\displaystyle \frac{SD}{DB} = \frac{SD}{MD}\frac{MD}{DB} = \frac{1}{\tan^2\theta}$ θα είναι

$\displaystyle{ \frac{AS}{SB} = \frac{AD-SD}{AD+SD} = \frac{1-\dfrac{SD}{AD}}{1+\dfrac{SD}{AD}} = \dfrac{1-\dfrac{SD}{DB}}{1+\dfrac{SD}{DB}} = \dfrac{1-\dfrac{1}{\tan^2\theta}}{1+\dfrac{1}{\tan^2\theta}} = \dfrac{\tan^2\theta-1}{\tan^2\theta+1} }$

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 24, 2023 1:36 pm
Λόγος ένεκα λόγου.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , με : , η μεσοκάθετος της υποτείνουσας ,

τέμνει την πλευρά στο σημείο . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AS}{SB}$ , συναρτήσει της $\tan\theta$ .

: Λόγος συναρτήσει λόγου.png (10.61 KiB) Προβλήθηκε 397 φορές

Ας είναι

η προβολή του $\,\,A\,$ στην υποτείνουσα . Θέτω $MB = R\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MD = k$ .

Είναι γνωστό ότι, $\,\dfrac{{DB}}{{DC}} = \dfrac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = {\tan ^2}\theta \,\, \Rightarrow \dfrac{{R + k}}{{R - k}} = {\tan ^2}\theta \,$ . Θέτω , k = Rx

κ έχω:

$\dfrac{{R + Rx}}{{R - Rx}} = {\tan ^2}\theta \, \Rightarrow \dfrac{{1 + x}}{{1 - x}} = {\tan ^2}\theta \, \Rightarrow \dfrac{{1 + x - 1 + x}}{{1 - x + 1 + x}} = \dfrac{{{{\tan }^2}\theta \, - 1}}{{{{\tan }^2}\theta \, + 1}} \Rightarrow \boxed{x = \dfrac{{{{\tan }^2}\theta \, - 1}}{{{{\tan }^2}\theta \, + 1}}}$ δηλαδή αυτό που θέλω.

Γιώργος Μήτσιος · #6

Καλημέρα!

Θεωρώ μονάδα μέτρησης AC=1

και

. Αν $tan\theta =k$ τότε AB=k

και

: 25-2 Λόγος ..λόγου.png (85.44 KiB) Προβλήθηκε 359 φορές

Από το Πυθαγόρειο στο τρίγωνο CAS

έχουμε $y^2=\left ( k-y \right )^2+1\Leftrightarrow y=\dfrac{k^2+1}{2k}$

οπότε $\dfrac{AS}{SB}=\dfrac{k-y}{y}=\dfrac{k}{y}-1=\dfrac{k}{\left (k^2+1 \right )/2k}-1=\dfrac{k^2-1}{k^2+1}$ .

Φιλικά, Γιώργος.

Λόγος συναρτήσει λόγου

Λόγος συναρτήσει λόγου

Re: Λόγος συναρτήσει λόγου

Re: Λόγος συναρτήσει λόγου

Re: Λόγος συναρτήσει λόγου

Re: Λόγος συναρτήσει λόγου

Re: Λόγος συναρτήσει λόγου

Μέλη σε σύνδεση