Ισότητα εμβαδών

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4925
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Ισότητα εμβαδών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Νοέμ 23, 2022 11:25 pm

Ένα ορθογώνιο τρίγωνο \mathrm{AB} \Gamma με \hat{\mathrm{A}} = 90^\circ έχει υποτείνουσα \mathrm{B} \Gamma = \alpha + \beta και κάθετες πλευρές \mathrm{AB} = \alpha - \beta και \mathrm{A}\Gamma = 2 \sqrt{\alpha \beta} (\alpha > \beta >0). Στις πλευρές του τριγώνου κατασκευάζουμε ισόπλευρα τρίγωνα όπως φαίνεται στο σχήμα παρακάτω τα οποία έχουν εμβαδά \mathrm{E}_1 , \mathrm{E}_2 και \mathrm{E}_3 αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι \mathrm{E}_1 = \mathrm{E}_2 + \mathrm{E}_3.




\displaystyle{\begin{tikzpicture} 
			\draw (0, 0)-- (2, 0) -- (0, 3) -- cycle; 
			\draw (2, 0) -- (3.58, 3.22) -- (0, 3) -- cycle; 
			\draw (0, 0) -- (-2.56, 1.5) -- (0, 3) -- cycle; 
			\draw (0, 0)-- (1, -1.72) -- (2, 0) -- cycle; 
			\draw[color=gray,fill=gray,fill opacity=0.1] (0.42,0) -- (0.42,0.42) -- (0,0.42) -- (0,0) -- cycle;  
			\draw (0, 0) node[below left]{A}; 
			\draw (2, 0) node[below right]{B}; 
			\draw (0, 3) node[above]{\textgreek{Γ}}; 
			\draw (-1, 1.5) node[]{E2}; 
			\draw (1, -0.7) node[]{E3};  
			\draw (2, 2.1) node[]{E1}; 
		\end{tikzpicture}}
Δε ξέρω πώς μπαίνουν οι δείκτες στο tikz στο :logo: . Μπορεί κάποιος να το φτιάξει;


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 14644
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ισότητα εμβαδών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Νοέμ 24, 2022 12:28 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Νοέμ 23, 2022 11:25 pm
Ένα ορθογώνιο τρίγωνο \mathrm{AB} \Gamma με \hat{\mathrm{A}} = 90^\circ έχει υποτείνουσα \mathrm{B} \Gamma = \alpha + \beta και κάθετες πλευρές \mathrm{AB} = \alpha - \beta και \mathrm{A}\Gamma = 2 \sqrt{\alpha \beta} (\alpha > \beta >0). Στις πλευρές του τριγώνου κατασκευάζουμε ισόπλευρα τρίγωνα όπως φαίνεται στο σχήμα παρακάτω τα οποία έχουν εμβαδά \mathrm{E}_1 , \mathrm{E}_2 και \mathrm{E}_3 αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι \mathrm{E}_1 = \mathrm{E}_2 + \mathrm{E}_3.




\displaystyle{\begin{tikzpicture} 
			\draw (0, 0)-- (2, 0) -- (0, 3) -- cycle; 
			\draw (2, 0) -- (3.58, 3.22) -- (0, 3) -- cycle; 
			\draw (0, 0) -- (-2.56, 1.5) -- (0, 3) -- cycle; 
			\draw (0, 0)-- (1, -1.72) -- (2, 0) -- cycle; 
			\draw[color=gray,fill=gray,fill opacity=0.1] (0.42,0) -- (0.42,0.42) -- (0,0.42) -- (0,0) -- cycle;  
			\draw (0, 0) node[below left]{A}; 
			\draw (2, 0) node[below right]{B}; 
			\draw (0, 3) node[above]{\textgreek{Γ}}; 
			\draw (-1, 1.5) node[]{E2}; 
			\draw (1, -0.7) node[]{E3};  
			\draw (2, 2.1) node[]{E1}; 
		\end{tikzpicture}}
Δε ξέρω πώς μπαίνουν οι δείκτες στο tikz στο :logo: . Μπορεί κάποιος να το φτιάξει;
Oι παραστάσεις a+b,\, a-b,\, 2\sqrt {ab} για τις πλευρές του τριγώνου είναι άσχετες με το πρόβλημα. Η ουσία είναι ότι ένα από τα πορίσματα του Πυθαγορείου Θεωρήματος είναι οτι ισχύει η ισότητα εμβαδών E_1=E_2+E_3 όχι μόνο για τετράγωνα αλλά και για οποιαδήποτε όμοια σχήματα. Εδώ είναι ισόπλευρα τρίγωνα. Η απόδειξη της γενίκευσης υπάρχει ήδη στα Στοιχεία του Ευκλείδη, Βιβλίο 6, Πρόταση 31 και επαναλαμβάνεται σε όλα τα βιβλία Γεωμετρίας. Δεν υπάρχει λόγος να την επαναλάβουμε εκ νέου. Πάντως η περίπτωση των ισοπλεύρων τριγώνων, ως ανωτέρω, είναι άμεση δεδομένου ότι τα εμβαδά τους είναι (σταθερά)\times a^2 κλπ.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4925
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ισότητα εμβαδών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Νοέμ 24, 2022 12:07 pm

Μιχάλη,

χρειάστηκε να διαβάσω αρκετές φορές το μήνυμά σου για να καταλάβω τι λες.
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Πέμ Νοέμ 24, 2022 12:28 am
Η ουσία είναι ότι ένα από τα πορίσματα του Πυθαγορείου Θεωρήματος είναι οτι ισχύει η ισότητα εμβαδών E_1=E_2+E_3 όχι μόνο για τετράγωνα αλλά και για οποιαδήποτε όμοια σχήματα. Εδώ είναι ισόπλευρα τρίγωνα. Η απόδειξη της γενίκευσης υπάρχει ήδη στα Στοιχεία του Ευκλείδη, Βιβλίο 6, Πρόταση 31 και επαναλαμβάνεται σε όλα τα βιβλία Γεωμετρίας ....
Πολύ ενδιαφέρον . Έχουμε παραπομπή να το δω; Αργότερα θα γράψω τη λύση που δώσαμε χθες με τα παιδιά μιας και το έθεσα ως θέμα διαγωνίσματος πάνω στις ταυτότητες.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11859
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ισότητα εμβαδών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Νοέμ 24, 2022 12:24 pm

Όσα κι αν είναι τα μήκη των πλευρών, έχουμε:

\displaystyle B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} \Leftrightarrow B{C^2}\frac{{\sqrt 3 }}{4} = A{C^2}\frac{{\sqrt 3 }}{4} + A{B^2}\frac{{\sqrt 3 }}{4} \Leftrightarrow {E_1} = {E_2} + {E_3}

Όπως γράφει και ο Μιχάλης, δεν έχει νόημα να δοθούν τα μήκη των πλευρών. Νομίζω ότι θα ήταν καλύτερα να δοθεί απλώς ένα τρίγωνο ABC με τα συγκεκριμένα μήκη πλευρών και, ως πρώτο ερώτημα, να ζητηθεί να δείξουν οι μαθητές ότι είναι ορθογώνιο, κλπ.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 14644
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ισότητα εμβαδών

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Νοέμ 24, 2022 1:10 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Πέμ Νοέμ 24, 2022 12:07 pm
Έχουμε παραπομπή να το δω;
Υπάρχει (αρχαίο κείμενο) για παράδειγμα εδώ, προς το τέλος της σελίδας 167. Εκεί υπάρχει πλήρες το αρχαίο κείμενο των Στοιχείων.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4925
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ισότητα εμβαδών

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Νοέμ 24, 2022 7:30 pm

Ωραία ευχαριστώ. Πάντως η άσκηση είναι από το Τραγανίτη.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 14644
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ισότητα εμβαδών

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Νοέμ 24, 2022 9:06 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Πέμ Νοέμ 24, 2022 7:30 pm
Ωραία ευχαριστώ. Πάντως η άσκηση είναι από το Τραγανίτη.
Δεν ξέρω το βιβλίο αλλά μήπως ο Τραγανίτης ΔΕΝ λέει
Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Νοέμ 23, 2022 11:25 pm
Ένα ορθογώνιο τρίγωνο \mathrm{AB} \Gamma με \hat{\mathrm{A}} = 90^\circ...
αλλά γράφει (σκέτο) "τρίγωνο"; Το ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο προκύπτει από τα μήκη που δίνει ο Τραγανίτης, και είναι μέρος της άσκησης. Αν όμως δηλωθεί ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο (που υποθέτω ότι είναι δική σου προσθήκη για να διευκολύνεις τους μαθητες σου), τότε τα υπόλοιπα περιττεύουν για να αποδειχθεί η ισότητα των εν λόγω εμβαδών.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4925
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ισότητα εμβαδών

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Νοέμ 25, 2022 7:30 am

Όχι Μιχάλη ,
1407481A-0108-4246-AF72-004AFAD29C64.jpeg
1407481A-0108-4246-AF72-004AFAD29C64.jpeg (910.21 KiB) Προβλήθηκε 66 φορές
Είναι το δεύτερο θέμα από το τρίτο διαγώνισμα του βιβλίου πάνω στις ταυτότητες .


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες