Γεωμετρία-Χρήσιμα Λήμματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
Lymperis Karras
Δημοσιεύσεις: 120
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 06, 2020 5:16 pm

Γεωμετρία-Χρήσιμα Λήμματα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Lymperis Karras » Τετ Μαρ 17, 2021 9:58 am

1) Να δείξετε σε δύο όμοια τρίγωνα με μία κατακορυφήν γωνία, οι απέναντί τους πλευρές είναι παράλληλες μόνο εάν οι αντίστοιχα ανάλογες πλευρές βρίσκονται στην ίδια ευθεία.
2) Να δείξετε ότι σε δύο ίσα τρίγωνα με μία κατακορυφήν γωνία δημιουργούν είτε τραπέζιο είτε παραλληλόγραμμο με κορυφές τις κορυφές τους εκτός της κορυφής της κατακορυφήν γωνίας.
3) Να δείξετε ότι σε δύο ίσα τρίγωνα με μία κατακορυφήν που δημιουργούν παραλληλόγραμμο, τα ίχνη των υψών τους που ξεκινούν από την κοινή τους κορυφή και η κορυφή αυτή είναι συνευθειακά.
4) Να δείξετε ότι η διάμεσος ενός ορθογωνίου τριγώνου που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το μισό της.

Τα παραπάνω κατά τη γνώμη μου είναι πολύ σημαντικά λήμματα που χρησιμεύουν αρκετά στις ασκήσεις γεωμετρίας της Γ' Γυμνασίου (της τάξης μου) και της Α' Λυκείου.
τελευταία επεξεργασία από Lymperis Karras σε Τετ Μαρ 17, 2021 12:49 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


Ένας μαθηματικός χρειάζεται μολύβι, γόμα και μεγάλο καλάθι αχρήστων.
-Hilbert

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Γεωμετρία-Χρήσιμα Λήμματα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Μαρ 17, 2021 10:28 am

Lymperis Karras έγραψε:
Τετ Μαρ 17, 2021 9:58 am
1) Να δείξετε σε δύο όμοια τρίγωνα με μία κατακορυφήν γωνία, η απέναντί τους πλευρές είναι παράλληλες.
Δεν τα διάβασα όλα ακόμη, αλλά το 1) δεν ισχύει γενικά, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
ΧΛ.png
ΧΛ.png (14.8 KiB) Προβλήθηκε 445 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Γεωμετρία-Χρήσιμα Λήμματα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Μαρ 17, 2021 12:02 pm

Lymperis Karras έγραψε:
Τετ Μαρ 17, 2021 9:58 am

4) Να δείξετε ότι η διάμεσος ενός ορθογωνίου τριγώνου που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το μισό της.
Θα δώσω μία απόδειξη ανεξάρτητη από την θεωρία παραλληλογράμμων (όπως έχουμε συνηθίσει τα τελευταία χρόνια).
ΧΛ.4.png
ΧΛ.4.png (7.73 KiB) Προβλήθηκε 415 φορές
\displaystyle \widehat B + \widehat C = 90^\circ  = \widehat A, άρα υπάρχει σημείο M της BC, ώστε \displaystyle \omega  = B\widehat AM = \widehat B. Άρα, \boxed{AM=MB} (1)

Αλλά, \displaystyle \omega  + \varphi  = \widehat B + \widehat C \Leftrightarrow \varphi  = \widehat C \Leftrightarrow AM = MC\mathop  \Rightarrow \limits^{(1)} \boxed{AM=MB=MC}


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12687
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Γεωμετρία-Χρήσιμα Λήμματα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Μαρ 17, 2021 1:02 pm

Lymperis Karras έγραψε:
Τετ Μαρ 17, 2021 9:58 am
Τετ Μαρ 17, 2021 9:58 am

4) Να δείξετε ότι η διάμεσος ενός ορθογωνίου τριγώνου που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το μισό της.
Λήμμα 4.png
Λήμμα 4.png (12.4 KiB) Προβλήθηκε 393 φορές


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13497
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Γεωμετρία-Χρήσιμα Λήμματα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Μαρ 17, 2021 1:29 pm

Lymperis Karras έγραψε:
Τετ Μαρ 17, 2021 9:58 am

4) Να δείξετε ότι η διάμεσος ενός ορθογωνίου τριγώνου που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το μισό της.
Αν A η ορθή, φέρνουμε την μεσομάθετο της AB. Έστω ότι τέμνει την υποτείνουσα στο M, το οποίο αναγκαστηκά είναι το μέσον της υποτείνουσας BC, δηλαδή AM διάμεσος.

Το AMB είναι ισοσκελές, λόγω μεσοκαθέτου. Το AMC είναι επίσης ισοσκελές γιατί οι δύο γωνίες παρά την βάση AC του είναι ίσες μεταξύ τους καθώς η καθεμία είναι συμπληρωματική των ίσων γωνιών του AMB. Τελικά BM=MA=CM.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης