Σχέση σε τρίγωνο

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4449
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Σχέση σε τρίγωνο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Νοέμ 21, 2020 9:40 am

Να δειχθεί ότι σε κάθε τρίγωνο \mathrm{AB} \Gamma ισχύει ότι:

\displaystyle{\left ( \frac{\beta}{\gamma} + \frac{\gamma}{\beta} \right ) \cos \mathrm{A} + \left ( \frac{\gamma}{\alpha} + \frac{\alpha}{\gamma} \right ) \cos \mathrm{B} + \left ( \frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} \right ) \cos \Gamma = 3}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9806
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Σχέση σε τρίγωνο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Νοέμ 21, 2020 11:34 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Νοέμ 21, 2020 9:40 am
Να δειχθεί ότι σε κάθε τρίγωνο \mathrm{AB} \Gamma ισχύει ότι:

\displaystyle{\left ( \frac{\beta}{\gamma} + \frac{\gamma}{\beta} \right ) \cos \mathrm{A} + \left ( \frac{\gamma}{\alpha} + \frac{\alpha}{\gamma} \right ) \cos \mathrm{B} + \left ( \frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} \right ) \cos \Gamma = 3}
Ίσως να υπάρχει και ευκολότερη λύση. Από νόμο συνημιτόνου, \displaystyle \cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}. Οπότε:

\displaystyle \left( {\frac{b}{c} + \frac{c}{b}} \right)\cos A = \frac{{({b^2} + {c^2})({b^2} + {c^2} - {a^2})}}{{2{b^2}{c^2}}} = \frac{{{b^4} + {c^4} - {a^2}({b^2} + {c^2})}}{{2{b^2}{c^2}}} + 1

Το ζητούμενο άθροισμα λοιπόν γράφεται:

\displaystyle S = 3 + \frac{{{b^4} + {c^4} - {a^2}({b^2} + {c^2})}}{{2{b^2}{c^2}}} + \frac{{{a^4} + {b^4} - {c^2}({b^2} + {a^2})}}{{2{a^2}{b^2}}} + \frac{{{a^4} + {c^4} - {b^2}({a^2} + {c^2})}}{{2{a^2}{c^2}}}

\displaystyle S = 3 + \frac{{{a^2}({b^4} + {c^4}) - {a^4}({b^2} + {c^2}) + {c^2}({a^4} + {b^4}) - {c^4}({b^2} + {a^2}) + {b^2}({a^4} + {c^4}) - {b^4}({a^2} + {c^2})}}{{2{a^2}{b^2}{c^2}}}

Μετά τις πράξεις ο αριθμητής του κλάσματος είναι 0, άρα \boxed{S=3}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες