Περίμετρος

KARKAR · #1

: Περίμετρος.png (6.5 KiB) Προβλήθηκε 1370 φορές

$\bigstar$ Το τρίγωνο ABC

έχει πλευρές : BC=a , AB=AC=b

. Από σημείο

της βάσης

φέρουμε : $SP \perp AB , ST \perp AC$ . Υπολογίστε την περίμετρο του τετραπλεύρου APST

.

Εφαρμογή : a=6 , b= 5

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 23, 2020 9:57 pm
Περίμετρος.png $\bigstar$ Το τρίγωνο έχει πλευρές : . Από σημείο της βάσης

φέρουμε : $SP \perp AB , ST \perp AC$ . Υπολογίστε την περίμετρο του τετραπλεύρου .

Εφαρμογή :

Έστω

η ζητούμενη περίμετρος και

το μέσο της BC.

Με Π. Θ βρίσκω ότι $\displaystyle AM = \frac{{\sqrt {4{b^2} - {a^2}} }}{2}$

: Περίμετρος.Κ.png (10.46 KiB) Προβλήθηκε 1268 φορές

Από την ομοιότητα των τριγώνων ABM, SBP, SCT

παίρνω τις παρακάτω σχέσεις:

$\displaystyle \frac{{AM}}{b} = \frac{{PS}}{{BS}} = \frac{{ST}}{{SC}} = \frac{{PS + ST}}{{BS + SC}} = \frac{{PS + ST}}{a} \Leftrightarrow$ $\boxed{PS + ST = \frac{a}{{2b}}\sqrt {4{b^2} - {a^2}}}$ (1)

$\displaystyle \frac{a}{{2b}} = \frac{{BP}}{{BS}} = \frac{{CT}}{{CS}} = \frac{{BP + CT}}{a} = \frac{{2b - (AP + AT)}}{a} \Leftrightarrow 4{b^2} - 2b(AP + AT) = {a^2} \Leftrightarrow$

$\displaystyle AP + AT = \frac{{4{b^2} - {a^2}}}{{2b}}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{p = \frac{1}{{2b}}\left( {a\sqrt {4{b^2} - {a^2}} + 4{b^2} - {a^2}} \right)}$ και για την εφαρμογή $\boxed{p=\frac{56}{5}}$

Αν και εντός ύλης, δεν νομίζω ότι ένας αντιπροσωπευτικός μαθητής (ή μαθήτρια) της Γ Γυμνασίου θα μπορούσε να ανταποκριθεί στο γενικό ερώτημα. ( Δεν αναφέρομαι βέβαια στα σαΐνια του που λύνουν τα πάντα).

#3

Η περίμετρος που ζητάμε ισούται με τη περίμετρο του ορθογωνίου τριγώνου DAB

.

$\left\{ \begin{gathered} \cos A = 1 - \frac{{{a^2}}}{{2{b^2}}} \hfill \\ \sin A = \sqrt {1 - {{\cos }^2}A} = \sqrt {\left( {1 + \cos A} \right)\left( {1 - \cos A} \right)} = \frac{{a\sqrt {4{b^2} - {a^2}} }}{{2{b^2}}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

: Περίμετρος.png (13.58 KiB) Προβλήθηκε 1236 φορές

Άρα η ζητουμένη περίμετρος είναι : $s = b + b\cos A + b\sin A$ δηλαδή :

$\boxed{s = \frac{{4{b^2} - {a^2} + a\sqrt {4{b^2} - {a^2}} }}{{2b}}}$

KARKAR · #4

: Περίμετρος.png (7.48 KiB) Προβλήθηκε 1228 φορές

Για την περίμετρο

, είναι :

$x\sin\theta+b-x\cos\theta+(a-x)\sin\theta+b-(a-x)\cos\theta =$

$=2b+a(\sin\theta-\cos\theta)$ . Ο υπολογισμός των $\sin\theta ,\cos\theta$ ,

είναι απλός και δίνει το αποτέλεσμα που βρέθηκε παραπάνω .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 23, 2020 9:57 pm
Περίμετρος.png $\bigstar$ Το τρίγωνο έχει πλευρές : . Από σημείο της βάσης

φέρουμε : $SP \perp AB , ST \perp AC$ . Υπολογίστε την περίμετρο του τετραπλεύρου .

Εφαρμογή :

Εύκολα με Π.Θ στο $\triangle ABM \Rightarrow AM= \dfrac{1}{2} \sqrt{4b^2-a^2}$

$(ABS)+(ASC)=(ABC) \Rightarrow b(x+y)=aAM=a \dfrac{1}{2} \sqrt{4b^2-a^2}$ .Άρα $x+y= \dfrac{a}{2b} \sqrt{4b^2-a^2}$ (1)

Ισχύει $CScosC=b- \omega$ και BScosC=b-z

.Με πρόσθεση, $acosC=2b-(z+ \omega ) \Rightarrow z+ \omega =2b-acosC=\dfrac{4b^2-a^2}{2b}$ (2)

δίνει $x+y+z+ \omega = \dfrac{4b^2-a^2+a \sqrt{4b^2-a^2} }{2b}$

: Περίμετρος.png (29.85 KiB) Προβλήθηκε 1194 φορές

Περίμετρος

Περίμετρος

Re: Περίμετρος

Re: Περίμετρος

Re: Περίμετρος

Re: Περίμετρος

Μέλη σε σύνδεση