Απλή και όμορφη

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3239
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Απλή και όμορφη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Πέμ Μάιος 30, 2019 7:26 am

shape.png
shape.png (8.44 KiB) Προβλήθηκε 506 φορές
Στο ορθογώνιο ABCD του παραπάνω σχήματος, να βρείτε το λόγο \dfrac{{AZ}}{{ZB}}


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8308
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Απλή και όμορφη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Μάιος 30, 2019 10:22 am

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Πέμ Μάιος 30, 2019 7:26 am
shape.pngΣτο ορθογώνιο ABCD του παραπάνω σχήματος, να βρείτε το λόγο \dfrac{{AZ}}{{ZB}}
Καλημέρα σε όλους!

Έστω AZ=x.
Απλή και όμορφη.png
Απλή και όμορφη.png (12.31 KiB) Προβλήθηκε 482 φορές
Με Πυθαγόρειο στα τρίγωνα DEC, DEZ, βρίσκω \displaystyle DC = AB = 2\sqrt {13} και \displaystyle DZ = 3\sqrt 5

\displaystyle A{D^2} = B{C^2} \Leftrightarrow 45 - {x^2} = 49 - {\left( {2\sqrt {13}  - x} \right)^2} \Leftrightarrow x = \frac{{12}}{{\sqrt {13} }}

\displaystyle \frac{{AZ}}{{ZB}} = \frac{x}{{AB - x}} = \frac{{\frac{{12}}{{\sqrt {13} }}}}{{2\sqrt {13}  - \frac{{12}}{{\sqrt {13} }}}} \Leftrightarrow \boxed{\frac{{AZ}}{{ZB}} = \frac{6}{7}}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6657
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Απλή και όμορφη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Μάιος 30, 2019 10:45 am

Απλή και όμορφη_Nannos.png
Απλή και όμορφη_Nannos.png (14.48 KiB) Προβλήθηκε 476 φορές

AB = DC = \sqrt {{6^2} + {4^2}}  = \sqrt {52}  = 2\sqrt {13} , Αλλά ZC = \sqrt {4{x^2} + 9{x^2}}  = x\sqrt {13}  \Rightarrow \boxed{x = \frac{7}{{\sqrt {13} }}}\,\,\,(1)

Γιατί αν ZB = 2x \Rightarrow BC = 3x . Θέτω και AZ=u

u = 2\sqrt {13}  - 2x = 2\sqrt {13}  - \dfrac{{14}}{{\sqrt {13} }} = \dfrac{{12}}{{\sqrt {13} }} \Rightarrow \boxed{u = \dfrac{{12}}{{\sqrt {13} }}}\,\,(2) . Έτσι :

\boxed{\frac{{AZ}}{{ZB}} = \frac{u}{{2x}} = \frac{6}{7}}


Altrian
Δημοσιεύσεις: 176
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Απλή και όμορφη

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Πέμ Μάιος 30, 2019 11:12 am

Προεκτείνω την CZ. Από ομοιότητα τριγώνων DEC και DEF παίρνω EF=9. Αρα FZ=6

\dfrac{AZ}{ZB}=\dfrac{6}{7}
Συνημμένα
απλη και ομορφη.png
απλη και ομορφη.png (8.24 KiB) Προβλήθηκε 465 φορές


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6657
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Απλή και όμορφη

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Μάιος 30, 2019 12:13 pm

Altrian έγραψε:
Πέμ Μάιος 30, 2019 11:12 am
Προεκτείνω την CZ. Από ομοιότητα τριγώνων DEC και DEF παίρνω EF=9. Αρα FZ=6

\dfrac{AZ}{ZB}=\dfrac{6}{7}
Γι αυτή την ομορφιά :clap2: πρέπει να μιλάει ο Μιχάλης


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6657
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Απλή και όμορφη

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Μάιος 30, 2019 1:11 pm

Φέρνω από το Z παράλληλη στην BC που τέμνει τις D\,E\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC στα T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,S, ενώ η DE τέμνει την BC στο L.

Αν EL = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ET = y επειδή οι τρρείς κίτρινες γωνίες είναι ίσες με \theta θα έχω:

Απλή και όμορφη_Nannos_new.png
Απλή και όμορφη_Nannos_new.png (12.95 KiB) Προβλήθηκε 434 φορές
\left\{ \begin{gathered} 
  \tan \theta  = \frac{{EL}}{{EC}} = \frac{x}{4} \hfill \\ 
  \tan \theta  = \frac{{ET}}{{EZ}} = \frac{y}{3} \hfill \\ 
  \tan \theta  = \frac{{EC}}{{ED}} = \frac{2}{3} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  x = \frac{8}{3} \hfill \\ 
  y = 2 \hfill \\ 
  DT = 4 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{\frac{{AZ}}{{ZB}} = \frac{{DT}}{{TL}} = \frac{4}{{x + y}} = \frac{6}{7}}


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3239
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Απλή και όμορφη

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Πέμ Μάιος 30, 2019 1:19 pm

Doloros έγραψε:
Πέμ Μάιος 30, 2019 12:13 pm
Altrian έγραψε:
Πέμ Μάιος 30, 2019 11:12 am
Προεκτείνω την CZ. Από ομοιότητα τριγώνων DEC και DEF παίρνω EF=9. Αρα FZ=6

\dfrac{AZ}{ZB}=\dfrac{6}{7}
Γι αυτή την ομορφιά :clap2: πρέπει να μιλάει ο Μιχάλης
Ακριβώς Νίκο.

:clap2: στον Αλέξανδρο, χωρίς να παραβλέπουμε, εννοείται, και τις υπόλοιπες λύσεις!


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8308
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Απλή και όμορφη

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Μάιος 30, 2019 1:53 pm

Altrian έγραψε:
Πέμ Μάιος 30, 2019 11:12 am
Προεκτείνω την CZ. Από ομοιότητα τριγώνων DEC και DEF παίρνω EF=9. Αρα FZ=6

\dfrac{AZ}{ZB}=\dfrac{6}{7}
Ρουα ματ :clap2:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης