Απλή και όμορφη

Ιστοσελίδα · #1

: shape.png (8.44 KiB) Προβλήθηκε 2073 φορές

Στο ορθογώνιο ABCD

του παραπάνω σχήματος, να βρείτε το λόγο $\dfrac{{AZ}}{{ZB}}$

#2

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 30, 2019 7:26 am
shape.pngΣτο ορθογώνιο του παραπάνω σχήματος, να βρείτε το λόγο $\dfrac{{AZ}}{{ZB}}$

Καλημέρα σε όλους!

Έστω AZ=x.

: Απλή και όμορφη.png (12.31 KiB) Προβλήθηκε 2049 φορές

Με Πυθαγόρειο στα τρίγωνα DEC, DEZ,

βρίσκω $\displaystyle DC = AB = 2\sqrt {13}$ και $\displaystyle DZ = 3\sqrt 5$

$\displaystyle A{D^2} = B{C^2} \Leftrightarrow 45 - {x^2} = 49 - {\left( {2\sqrt {13} - x} \right)^2} \Leftrightarrow x = \frac{{12}}{{\sqrt {13} }}$

$\displaystyle \frac{{AZ}}{{ZB}} = \frac{x}{{AB - x}} = \frac{{\frac{{12}}{{\sqrt {13} }}}}{{2\sqrt {13} - \frac{{12}}{{\sqrt {13} }}}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{AZ}}{{ZB}} = \frac{6}{7}}$

#3

: Απλή και όμορφη_Nannos.png (14.48 KiB) Προβλήθηκε 2043 φορές

$AB = DC = \sqrt {{6^2} + {4^2}} = \sqrt {52} = 2\sqrt {13}$ , Αλλά $ZC = \sqrt {4{x^2} + 9{x^2}} = x\sqrt {13} \Rightarrow \boxed{x = \frac{7}{{\sqrt {13} }}}\,\,\,(1)$

Γιατί αν $ZB = 2x \Rightarrow BC = 3x$ . Θέτω και AZ=u

$u = 2\sqrt {13} - 2x = 2\sqrt {13} - \dfrac{{14}}{{\sqrt {13} }} = \dfrac{{12}}{{\sqrt {13} }} \Rightarrow \boxed{u = \dfrac{{12}}{{\sqrt {13} }}}\,\,(2)$ . Έτσι :

$\boxed{\frac{{AZ}}{{ZB}} = \frac{u}{{2x}} = \frac{6}{7}}$

Altrian · #4

Προεκτείνω την

. Από ομοιότητα τριγώνων DEC

και DEF παίρνω EF=9

. Αρα

$\dfrac{AZ}{ZB}=\dfrac{6}{7}$

#5

Altrian έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 30, 2019 11:12 am
Προεκτείνω την . Από ομοιότητα τριγώνων και DEF παίρνω . Αρα

$\dfrac{AZ}{ZB}=\dfrac{6}{7}$

Γι αυτή την ομορφιά πρέπει να μιλάει ο Μιχάλης

#6

Φέρνω από το

παράλληλη στην

που τέμνει τις $D\,E\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC$ στα $T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,S$ , ενώ η

τέμνει την

στο

.

Αν $EL = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ET = y$ επειδή οι τρρείς κίτρινες γωνίες είναι ίσες με $\theta$ θα έχω:

: Απλή και όμορφη_Nannos_new.png (12.95 KiB) Προβλήθηκε 2001 φορές

$\left\{ \begin{gathered} \tan \theta = \frac{{EL}}{{EC}} = \frac{x}{4} \hfill \\ \tan \theta = \frac{{ET}}{{EZ}} = \frac{y}{3} \hfill \\ \tan \theta = \frac{{EC}}{{ED}} = \frac{2}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \frac{8}{3} \hfill \\ y = 2 \hfill \\ DT = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{\frac{{AZ}}{{ZB}} = \frac{{DT}}{{TL}} = \frac{4}{{x + y}} = \frac{6}{7}}$

Ιστοσελίδα · #7

Doloros έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 30, 2019 12:13 pm

Altrian έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 30, 2019 11:12 am
Προεκτείνω την . Από ομοιότητα τριγώνων και DEF παίρνω . Αρα

$\dfrac{AZ}{ZB}=\dfrac{6}{7}$
Γι αυτή την ομορφιά πρέπει να μιλάει ο Μιχάλης

Ακριβώς Νίκο.

στον Αλέξανδρο, χωρίς να παραβλέπουμε, εννοείται, και τις υπόλοιπες λύσεις!

#8

Altrian έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 30, 2019 11:12 am
Προεκτείνω την . Από ομοιότητα τριγώνων και DEF παίρνω . Αρα

$\dfrac{AZ}{ZB}=\dfrac{6}{7}$

Ρουα ματ

Απλή και όμορφη

Απλή και όμορφη

Re: Απλή και όμορφη

Re: Απλή και όμορφη

Re: Απλή και όμορφη

Re: Απλή και όμορφη

Re: Απλή και όμορφη

Re: Απλή και όμορφη

Re: Απλή και όμορφη

Μέλη σε σύνδεση