Παραγοντοποίηση

#1

Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις:
Α) $\displaystyle {a^4} - 26{a^2}{b^2} + 25{b^4}$ ............. Β) $\displaystyle {13^{108}} - 2 \cdot {13^{55}} \cdot {5^{42}} + {5^{86}}$

Αφήνεται ένα 24ωρο στους μαθητές.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

Καλημέρα!

α)

$a^{4}-26a^{2}b^{2}+25b^{2}=\left ( a^{2} \right )^{2}+10a^{2}b^{2}+\left ( 5b^{2} \right )^{2}-36a^{2}b^{2}=\left ( a^{2}+5b^{2} \right )-\left ( 6ab \right )^{2}=\left ( a^{2}+5b^{2}-6ab \right )\left ( a^{2}+5b^{2}+6ab \right )=..\,\,\left ( a^{2}-6ab+9b^{2}-4b^{2} \right )\left ( a^{2}+6ab+9b^{2}-4b^{2}\right) =\left [ \left ( a-3b \right )^{2}-\left( 2b \right )^{2} \right]\cdot\left [ \left ( a+3b \right )^{2}-\left ( 2b \right )^{2} \right ] =\\,\left .( a-3b+2b \right )\left ( a-3b-2b \right )\left ( a+3b-2b \right )\left ( a+3b+2b \right )=\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )\left ( a-5b \right )\left ( a+5b \right )$

β)
$13^{108}-2\cdot 13^{55}\cdot 5^{42}+5^{86}=13^{108}-2\cdot 13^{54}\cdot 5^{42}+5^{84}-12\cdot 2\cdot 13^{54}\cdot 5^{42}+24\cdot 5^{84}=\left ( 13^{54}-5^{42} \right )^{2}-..24\cdot 5^{42}\left ( 13^{54}-5^{42} \right )=\left (13^{54} -5^{42} \right )\left ( 13^{54}-5^{42}-24\cdot 5^{42} \right )=\left [ \left ( 3^{18} \right )^{3} -\left ( 5^{14} \right )^{3}\right ]\left ( 13^{54}-5^{46} \right )=..\left ( 13^{18}-5^{14} \right )\left ( 13^{36}+13^{18}\cdot5^{14} +5^{28} \right )=\left ( 3^{9}-5^{7} \right )\left ( 3^{9}+5^{7} \right )\left ( 13^{18}+13^{9}\cdot 5^{7}+5^{14} \right )\left ( 13^{18} -13^{9}\cdot 5^{7}+5^{14}\right )$

#3

Για το β) δεν χρειάζεται να ξανακάνουμε όλη την δουλειά. Απλά είναι εφαρμογή του α) με $a=13^{27}, \, b=5^{21}$ . Από εκεί και πέρα οι νέες παραγοντοποιήσεις που εμφανίζονται είναι άμεσες.

Xriiiiistos · #4

To 2o ερώτημα βασίζεται στο 1ο ερώτημα δεν χρειάζεται να ξαναπαραγοντοποιήσουμε $\displaystyle {13^{108}} - 2 \cdot {13^{55}} \cdot {5^{42}} + {5^{86}}=13^{108}-26\cdot 13^{54}+5^{86}$ για $a=13^{27},b=5^{21}$ είναι η 1η που δίνεται

με πρόλαβε ο κ. Λάμπρου

Μενέλαος · #5

Γεια σας ,
Αν το αφήσουμε
(a^2+5b^2+6ab)(a^2+5b^2-6ab)
Είναι λάθος ?

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #6

Μενέλαος έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 05, 2019 5:29 pm
Γεια σας ,
Αν το αφήσουμε
(a^2+5b^2+6ab)(a^2+5b^2-6ab)
Είναι λάθος ?

Καλησπέρα!

Ναι είναι γιατί στην παραγοντοποίηση θέλουμε όλοι οι παράγοντες να είναι πρώτοι(δηλαδή να μην παραγοντοποιούνται άλλο).

#7

Μενέλαος έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 05, 2019 5:29 pm
Γεια σας ,
Αν το αφήσουμε

Είναι λάθος ?

Για την ακρίβεια δεν είναι λάθος, αλλά είναι ελλιπές. Δηλαδή βαθμολογείται μέχρι εκεί. Όπως γράφει ο Πρόδρομος,

θέλουμε οι παράγοντες να μην παραγοντοποιούνται άλλο, αλλά όχι να είναι υποχρεωτικά πρωτοβάθμιοι.

π. χ το $\displaystyle {a^2} + ab + {b^2}$ δεν μπορεί να παραγοντοποιηθεί κι ας μην είναι πρωτοβάθμιο.

Παραγοντοποίηση

Παραγοντοποίηση

Re: Παραγοντοποίηση

Re: Παραγοντοποίηση

Re: Παραγοντοποίηση

Re: Παραγοντοποίηση

Re: Παραγοντοποίηση

Re: Παραγοντοποίηση

Μέλη σε σύνδεση