Για καλούς μαθητές

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3140
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Για καλούς μαθητές

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Τρί Οκτ 09, 2018 7:32 am

shape.png
shape.png (10.48 KiB) Προβλήθηκε 292 φορές
Στο τετράγωνο, πλευράς a, του παραπάνω σχήματος δίνονται: \angle BEC = \angle EKB = {90^ \circ }, \angle ECZ = \angle KCZ,\,DZ = a,\,BK = 2 και ζητείται το τμήμα BE = x


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7318
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Για καλούς μαθητές

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Οκτ 09, 2018 10:22 am

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Τρί Οκτ 09, 2018 7:32 am
shape.pngΣτο τετράγωνο, πλευράς a, του παραπάνω σχήματος δίνονται: \angle BEC = \angle EKB = {90^ \circ }, \angle ECZ = \angle KCZ,\,DZ = a,\,BK = 2 και ζητείται το τμήμα BE = x
Καλημέρα σε όλους!
Για καλούς μαθητές.png
Για καλούς μαθητές.png (13.55 KiB) Προβλήθηκε 256 φορές
Έστω \displaystyle E\widehat CZ = Z\widehat CK = \theta ,D\widehat CE = \varphi. Τότε είναι \displaystyle \varphi  + 2\theta  = 90^\circ και \displaystyle D\widehat ZC = D\widehat CZ = \varphi  + \theta.

\displaystyle D\widehat ZH = 180^\circ  - (D\widehat ZC + C\widehat ZK) = 180^\circ  - (\varphi  + \theta  + 90^\circ  - \theta ) = 90^\circ  - \varphi  = 2\theta

Εύκολα τώρα προκύπτει ότι τα ορθογώνια τρίγωνα DHZ, BEC είναι ίσα και \displaystyle x = DH = a - 2 \Leftrightarrow a = x + 2

\displaystyle \eta \mu 2\theta  = \frac{x}{a} = \frac{2}{x} \Leftrightarrow \frac{x}{{x + 2}} = \frac{2}{x} \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 4 = 0, απ' όπου παίρνουμε τη δεκτή ρίζα \boxed{x=\sqrt 5+1}


ΥΓ. Θα συμπλήρωνα για πολύ καλούς μαθητές! Πιστεύω ότι η πλειοψηφία των μαθητών της Β' Λυκείου θα δυσκολευόταν αρκετά!


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6023
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Για καλούς μαθητές

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Οκτ 09, 2018 2:44 pm

Για πολύ  καλούς μαθητές.png
Για πολύ καλούς μαθητές.png (29.08 KiB) Προβλήθηκε 209 φορές
Ας είναι L το σημείο τομής των DZ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EC. Επειδή λόγω του ισοσκελούς τριγώνου DZC

και της παραλληλίας των DC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EK έχω : \left\{ \begin{gathered} 
  \widehat {{a_2}} = \widehat {{a_4}} \hfill \\ 
  \widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \widehat {{a_3}} = \widehat {{a_4}} \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  CK = CL \hfill \\ 
  DZ \bot CE \hfill \\  
\end{gathered}  \right. .

Αλλά μ’ αυτά τα ορθογώνια τρίγωνα : LDC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ECB είναι ίσα οπότε: \boxed{CK = LC = EB = x} .

Μετά απ’ αυτά από το Θ. Ευκλείδη ( η από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα EBC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KBE) έχω :

E{B^2} = BK \cdot BC \Rightarrow {x^2} = 2(x + 2) \Rightarrow \boxed{x = 1 + \sqrt 5 }


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης