Όχι ρητές ρίζες

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3601
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Όχι ρητές ρίζες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Ιουν 15, 2018 9:46 am

Έστω \alpha, \beta, \gamma τρεις θετικοί περιττοί ακέραιοι. Δείξατε ότι η εξίσωση \alpha x^2 + \beta x + \gamma =0 δεν έχει ρητές ρίζες.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7323
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Όχι ρητές ρίζες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Ιουν 21, 2018 4:39 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Ιουν 15, 2018 9:46 am
Έστω \alpha, \beta, \gamma τρεις θετικοί περιττοί ακέραιοι. Δείξατε ότι η εξίσωση \alpha x^2 + \beta x + \gamma =0 δεν έχει ρητές ρίζες.
Για να δούμε. Αν η εξίσωση έχει ρητές ρίζες τότε θα πρέπει η διακρίνουσα να είναι τετράγωνο περιττού αριθμού,

αφού ο \displaystyle {\beta ^2} είναι περιττός και ο \displaystyle 4\alpha \gamma άρτιος. Έστω \displaystyle \beta  = 2\kappa  + 1. Τότε:

\displaystyle {\beta ^2} - 4\alpha \gamma  = {(2\mu  + 1)^2} \Leftrightarrow \displaystyle {(2\kappa  + 1)^2} - {(2\mu  + 1)^2} = 4\alpha \gamma  \Leftrightarrow (\kappa  - \mu )(\kappa  + \mu  + 1) = \alpha \gamma

● Αν οι αριθμοί \displaystyle \kappa ,\mu είναι άρτιοι ή περιττοί, τότε το \displaystyle \kappa  - \mu είναι άρτιος, ενώ το \displaystyle \kappa  + \mu  + 1 περιττός.

● Αν ένας από τους \displaystyle \kappa ,\mu είναι άρτιος και ο άλλος περιττός τότε το \displaystyle \kappa  - \mu είναι περιττός, ενώ το \displaystyle \kappa  + \mu  + 1 άρτιος.

Σε κάθε περίπτωση λοιπόν, το γινόμενο \displaystyle \alpha \gamma είναι άρτιος που είναι άτοπο, αφού οι \displaystyle \alpha, \gamma είναι περιττοί. Άρα η εξίσωση δεν μπορεί να έχει ρητές ρίζες.


nikkru
Δημοσιεύσεις: 334
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 26, 2009 6:42 pm

Re: Όχι ρητές ρίζες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikkru » Πέμ Ιουν 21, 2018 5:32 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Ιουν 15, 2018 9:46 am
Έστω \alpha, \beta, \gamma τρεις θετικοί περιττοί ακέραιοι. Δείξατε ότι η εξίσωση \alpha x^2 + \beta x + \gamma =0 δεν έχει ρητές ρίζες.
Έστω ότι η δοσμένη εξίσωση έχει ρίζα τον μη μηδενικό ρητό \frac{m}{n}, με \frac{m}{n} ανάγωγο κλάσμα ( οπότε ένας τουλάχιστον από τους m,n είναι περιττός ) .

Τότε \alpha \left ( \frac{m}{n}\right )^2 + \beta \frac{m}{n} + \gamma =0 \Leftrightarrow \alpha m^2 + \beta mn + \gamma n^2 =0  (1).

\bullet αν m,n περιττοί, τότε το πρώτο μέλος της (1) περιττός, το δεύτερο άρτιος, άτοπο.

\bullet αν μόνο ένας από τους m,n περιττός, τότε το πρώτο μέλος της (1) πάλι περιττός, το δεύτερο άρτιος, άτοπο.

Επομένως η εξίσωση δεν έχει ρητή ρίζα.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης