Ανισότητα
Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος
-
- Δημοσιεύσεις: 42
- Εγγραφή: Πέμ Μαρ 22, 2018 5:40 pm
Ανισότητα
Αν οι αριθμοί x,y,z είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί μικρότεροι του 7, με x+y+z=20 να αποδείξετε ότι
Κωνσταντινίδης Κωνσταντίνος
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ανισότητα
Ας κάνω την αριστερή που βελτιώνεται το φράγμα και την λες και για Γυμνάσιο.Κω.Κωνσταντινίδης έγραψε: ↑Πέμ Απρ 26, 2018 9:07 pmΑν οι αριθμοί x,y,z είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί μικρότεροι του 7, με x+y+z=20 να αποδείξετε ότι
Αφού και προκύπτει ότι
Ετσι είναι
και κυκλικά για τις άλλες.
Ετσι
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ανισότητα
Την σκότωσε ο Σταύρος.Κω.Κωνσταντινίδης έγραψε: ↑Πέμ Απρ 26, 2018 9:07 pmΑν οι αριθμοί x,y,z είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί μικρότεροι του 7, με x+y+z=20 να αποδείξετε ότι
Ας προσθέσω ότι η αριστερή ανισότητα όπως δόθηκε αρχικά είναι πάρα πολλή απλή ακόμη και χωρίς την υπόθεση διότι
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ανισότητα
Συνεχίζοντας το προηγούμενο ποστ ας κάνω και την δεξιά ανισότητα, με χρήση της υπόθεσης ότι οι οι αριθμοί είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί μικρότεροι του . Πάλι ο συλλογισμός είναι πολύ απλός:Κω.Κωνσταντινίδης έγραψε: ↑Πέμ Απρ 26, 2018 9:07 pmΑν οι αριθμοί x,y,z είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί μικρότεροι του 7, με x+y+z=20 να αποδείξετε ότι
Σχολιάζω ότι παρ' όλη την απλότητά της, είναι ωραία ασκησούλα για τις μικρές τάξεις του Γυμνασίου.
-
- Δημοσιεύσεις: 42
- Εγγραφή: Πέμ Μαρ 22, 2018 5:40 pm
Re: Ανισότητα
Αυτή η άσκηση είναι παρόμοια με μια που τέθηκε στον Αρχιμήδη νέων. Για αυτό άλλωστε γράφω ως λέξεις κλειδιά την φράση επεξεργασία δεδομένων.
Μια απλή αλλά χρονοβόρα λύση είναι η ακόλουθη:
Γράφουμε με μαθηματικό τρόπο τα δεδομένα, άρα
Προσθέτουμε στο κάθε μέλος των ανισοτήτων το 3, συνεπώς
Θα μετατρέψουμε τους όρους των ανισοτήτων σε παρονομαστές. Ο αριθμητής των κλασμάτων που θα προκύψουν θα είναι 1. Όμως η φορά της ανισότητας θα αλλάξει διότι ανάμεσα σε τρία κλάσματα που έχει το καθένα αριθμητή το 1, μεγαλύτερο είναι αυτό που έχειι τον μικρότερο παρονομαστή.Άρα:
(1)
(2)
(3)
Πολλαπλασιάζουμε όλα τα μέλη της ανισότητας (1) με x+y, τα μέλη της ανισότητας (2) με y+z και τα μέλη της ανισότητας (3) με x+z, άρα προκύπτει ότι
Με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει ότι:
Αντικαθιστώντας με 20 όπου x+y+z και κάνοντας αναγωγή όμοιων όρων προκύπτει η ζητούμενη.
Καλό βράδυ
Κωνσταντίνος
Μια απλή αλλά χρονοβόρα λύση είναι η ακόλουθη:
Γράφουμε με μαθηματικό τρόπο τα δεδομένα, άρα
Προσθέτουμε στο κάθε μέλος των ανισοτήτων το 3, συνεπώς
Θα μετατρέψουμε τους όρους των ανισοτήτων σε παρονομαστές. Ο αριθμητής των κλασμάτων που θα προκύψουν θα είναι 1. Όμως η φορά της ανισότητας θα αλλάξει διότι ανάμεσα σε τρία κλάσματα που έχει το καθένα αριθμητή το 1, μεγαλύτερο είναι αυτό που έχειι τον μικρότερο παρονομαστή.Άρα:
(1)
(2)
(3)
Πολλαπλασιάζουμε όλα τα μέλη της ανισότητας (1) με x+y, τα μέλη της ανισότητας (2) με y+z και τα μέλη της ανισότητας (3) με x+z, άρα προκύπτει ότι
Με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει ότι:
Αντικαθιστώντας με 20 όπου x+y+z και κάνοντας αναγωγή όμοιων όρων προκύπτει η ζητούμενη.
Καλό βράδυ
Κωνσταντίνος
Κωνσταντινίδης Κωνσταντίνος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ανισότητα
Κωνσταντίνε,
στην πραγματικότητα η λύση που γράφεις είναι ΑΚΡΙΒΩΣ η ίδια με την δικιά μου (και στο ένα σκέλος και στο άλλο) με μόνη διαφορά ότι γράφεις από τρεις φορές την κάθε ανισότητα. Απλά έγραψες με πολλά λόγια τα εύκολα.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες